0 k3
0
系数行列式 D
2 1
1 2
0 1 40
k2 2k3 0
012 只 a有1,零a2 ,解a3线k性1 无k关2 . k3 0
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§3.3 向量组的线性相关性
例2
a已2 知a3向,a量3 组aa1也1,a线2,性a3 无线关性.无关
,
证明a1
a2
,
证：k设（1 一a1组 a数2 )k1,
所以m R(B) m 1，即有R(B) m.
由R( A) R(B) m,知方程组Ax b 有唯一解，
即向量b能由向量组A线性表示,且表示式唯一.
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§3.3 向量组的线性相关性
证 例5明.设：((21向))aa量14能不组由能a1a由,2a,a2a1,3a,线a3线2性, a性3表线相示性关表，示而a2
2 1
1 2
0 1 40
行列式法 0 1 2
a1,a2 ,a3线性无关
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§3.3 向量组的线性相关性
例4 标准单位向量组 :
e1 1,0,,0T ,e2 0,1,,0T ,,en 0,0,,1T
讨论其线性相关性 . 解：A (e1,e2 ,,en ) En
kk（22, ka32使
a3
)
k（3 a3
a1
)
0
亦即（ka11， ka32，)a1a3线(k性1 无k关2 )a， 2 有(k2 k3 )a3 0,
k1 k1
k3 k2
0 0
k2 k3 0
1 01 系数行列式 D 1 1 0 2 0
0 1 1 克莱默 法则
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§3.3 向量组的线性相关性
第三章 线性方程组与向量组的 线性相关性
§3.3 向量组的线性相关性
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§3.3 向量组的线性相关性
一.线性相关性定义
设组A : a1, 数k1, k2 ,,
ka2m,使，, amk,1如a1
果存在一组不全为零的
k2a2
kmam
0
则称组A 是线性相关的，否则称它线性无关．
2 1
1 0
秩法
0 1 2 0 1 2
~
1 0
2 3
12
~
1 0
2 1
12 阶梯形矩阵
0 1 2 0 0 4
R( A) 3 a1,a2 ,a3线性无关
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§3.3 向量组的线性相关性
例3
讨论a1
2 1
，a2
1 2
，a3
0 1
线性相关性
0
1
2
法２
a1,a2 ,a3
1, 2 , , n 线性相关；
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§3.3 向量组的线性相关性
二.线性相关性的判定定理
Th1 组a1,a2 ,,am (m 2)线性相关 其中至少 有一个向量可由其余m 1向量线性表示
证明: 必要性 设 a1,a2 ,,am 线性相关，
则有不全为0的数 k1a1 k2a2
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§3§.33.向3量组向的量线组性的相线关性相关性
内容小结
1. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点）
2. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
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§3.3 向量组的线性相关性
作
业
习题三（P70）
k1b1 k2b2 k3b3 k4b4 0
向量组b1,b2 ,b3 ,b4线性相关 .
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§3.3 向量组的线性相关性
已知向量组 1, 2, , nn 2 线性无关，又
1 1 2, 2 2 3, , n n 1,
证明:当 n为奇数时,向量组1, 2 , , n 线性无关；
线性无关
只 才有 有当k1ak11
kkmmam
0时 , 0成立
.
a1
1 , 2
a2
3 6
1 2
b1
, 2
b2
1
3a1
a2
0
0b1 0b2 0
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§3.3 向量组的线性相关性
*(1)单单独独一一个个非零零向向量量线线性性相无关关, 1 0a000
故
(1)a1
k2a2
kmam
0
1, k2 ,, km 这 m个数不全为0，
故 a1,a2 ,,am 线性相关.
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§3.3 向量组的线性相关性
Th2
组A
:
a1
,
a2
,, am线性相关
A
( a1
,
a2
,,
am
)
的秩小于向量个数m 即R( A) m
组A : a1,a2 ,,am线性无关 R( A) m.
R(E) n.
即R( E )等于向量组中向量个数，此向量组 是线性无关的.
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§3.3 向量组的线性相关性
Th3
组 组
BA：: aa1,1,,a,amm,
线性相关,则 am1 也线性相关
A是B的 部分组：
反之,组B 线性无关,则组A也线性无关.
A : a1,,am
B : a1,,am ,am1,,as
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§3.3 向量组的线性相关性
例2
a已2 知a3向,a量3 组aa1也1,a线2,性a3 无线关性.无关
,
证明a1
a2
,
证：k设（1 一a1组 a数2 )k1,
kk（22, ka32使
a3
)
k（3 a3
a1
)
0
1 01 系数行列式 D 1 1 0 2 0
011
只a1 有 a零2 ,a解2 ka13 ,a3k2 a1k也3 线 0性无关 .
(2)含零向量的向量 组是线性相关.
0a1
1
0
0am
0
(3) a1,a2线性相关 分量对应成比例
几何意义 : 是两向量共线；
三个向量相关的几何意义是三向量共面.
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§3.3 向量组的线性相关性
(4)n个k1en1维 标k2e准 2 单位向kn量en组e01,e2,,en线性无关 (k1,k2,,kn )T (0,0,,0)T k1 kn 0
,
a3
,
a4线
性无关
证：(1) a2 ,a3 ,a4线性无关 a2 ,a3线性无关
而a1,a2 ,a3线性相关
a1能由a2，a3线性表示
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§3.3 向量组的线性相关性
(2)反证法
假设a4能由a1,a2 ,a3线性表示
a1能由a2，a3线性表示
a4能由a2 ,a3线性表示
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§3.3 向量组的线性相关性
k1 kn 0
kk12
k2 k3
0 0
kn1 kn 0
由于此方程组的系数行列式
1 00 1
1 10 0
0 1 0 0 1 1 n1
0 01 1
于是当 n为奇数时,方程组只有零解,所以向量组
1, 2 , , n 线性无关；
当 n为偶数时,方程组有非零解,所以向量组
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§3.3 向量组的线性相关性
因向量组1,2 ,, s ,s1 线性无关，
k1 0
k2 0
ks 0
k1 k2 ks 0
1 0
0 1
0 0
A
0
0
1
1 1 1
R( A) n 只有零解 k1 k2 ... ks 0
1, 2 ,, s 线性无关，
部分组相关 向量组相关
向量组无关 任一部分组无关
1 2 1 2, 4, 1 3 6 1
2 1 0 1 , 2 , 1 0 1 2
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§3.3 向量组的线性相关性
推导: 设 a1,,am线性相关，
存在不全为零的数k1,,km ,使
k1a1
k2a2
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§3.3 向量组的线性相关性
ex设
b4
a4
b1a1,a证1 明a向2 ,b量2 组ab21
a3
, b3
a3
a4
,
,b2 ,b3 ,b4线性相关
.
b1a1b2a2
b3(a2b4
a3
)
(a3
a4
)
(a4
a1
)
0
即存在k1
k3
1,
k2