高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.8用样本估计总体
收尾精炼 理 新人教A 版 一、选择题
1．已知一组数据：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7构成公差为d 的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d 等于( )．
A ．±14
B ．±12
C ．±128
D ．无法求解 2．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )．
A ．55.2,3.6
B ．55.2,56.4
C ．64.8,63.6
D ．64.8,3.6
3．为了了解某地区10 000名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图．根据图示，请你估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5] kg 的学生人数是( )．
A ．40
B ．400
C ．4 000
D ．4 400
4．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，纤维的长度小于20 mm 的棉花根数为( )．
A．20 B．30 C．40 D．50
5．(2012山东高考)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )．
A．众数 B．平均数
C．中位数 D．标准差
6．从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图．根据茎叶图，下列描述正确的是( )．
A．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐
7．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本标准差分别为s A和s B，则( )．
A．x A＞x B，s A＞s B B．x A＜x B，s A＞s B
C．x A＞x B，s A＜s B D．x A＜x B，s A＜s B
二、填空题
8．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是__________．
9．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10
学生1号2号3号4号5号
甲班67787
乙班67679
10．(2012广东高考)由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________．(从小到大排列)
三、解答题
11．(2012安徽高考)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时，则视为合格品，否则视为不合格品，在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品，计算这50件不合格品的直径长与标准
值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表： 分组 频数 频率
[－3，－2) 0.10 [－2，－1) 8
(1,2] 0.50
(2,3] 10
(3,4]
合计 50 1.00
(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置上；
(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；
(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数．
12．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，
6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n 1 2 3 4 5
成绩x n 70 76 72 70 72
(1)求第6位同学的成绩x 6及这6位同学成绩的标准差s ；
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．
参考答案
一、选择题
1．B 解析：这组数据的平均数为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 77＝7a 47
＝a 4. 又因为这组数据的方差等于1，所以
17
[(a 1－a 4)2＋(a 2－a 4)2＋(a 3－a 4)2＋(a 4－a 4)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 4)2＋(a 7－a 4)2] ＝(3d )2＋(2d )2＋d 2＋0＋d 2＋(2d )2＋(3d )27＝1，即4d 2＝1，解得d ＝±12
. 2．D 解析：每一个数据都加上60时，平均数也加上60，而方差不变．
3．C 解析：依题意得，估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5] kg 的学生人数是10 000×(0.03＋2×0.05＋0.07)×2＝4 000.
4．B 解析：由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于20 mm 的根数为(0.01＋0.01＋0.04)×5×100＝30(根)．
5．D 解析：由s ＝
(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )
2n ，可知B 样本数据每个变量增加2，平均数也增加2，但(x n －x )2不变，故选D.
6． D 解析：根据茎叶图计算得甲种树苗的平均高度为27，而乙种树苗的平均高度为30，但乙种树苗的高度分布不如甲种树苗的高度分布集中，即甲种树苗比乙种树苗长得整齐．
7．B 解析：x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝37.56
， x B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝706
， 显然x A ＜x B ，s 是标准差，反映的是数据的波动程度，可以看出A 图中数据的波动较大，而B 图则较为有规律，而且改变多为一格，所以B 的稳定性好，稳定性好的标准差小，选B.
二、填空题
8．600 解析：由题意知，在该次数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数约是3 000×0.2＝600. 9.25解析：甲：平均数为6＋7＋7＋8＋75
＝7， 方差为(6－7)2＋3(7－7)2＋(8－7)25＝25
. 乙：平均数为6＋7＋6＋7＋95
＝7， 方差为2(6－7)2＋2(7－7)2＋(9－7)25＝65
. ∴两组数据的方差中较小的一个为25
. 10．1,1,3,3 解析：设该组数据依次为x 1≤x 2≤x 3≤x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝2，x 2＋x 32
＝2，∴x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.
∵x 1，x 2，x 3，x 4∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1，x 2＝1，x 3＝3，x 4＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，x 2＝2，x 3＝2，x 4＝2.
又∵标准差为1，∴x 1＝1，x 2＝1，x 3＝3，x 4＝3.
三、解答题
11．解：(1)频率分布表
分组 频数 频率
[－3，－2) 5 0.10
[－2，－1) 8 0.16
(1,2] 25 0.50
(2,3] 10 0.20
(3,4] 2 0.04
合计 50 1.00
(2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70；
(3)设这批产品中的合格品数为x 件，依题意有505 000＝20x ＋20，解得x ＝5 000×2050
－20＝1 980.
所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．
12．解：(1)由题意知
x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＝75×6＝450，
∴x 6＝450－(70＋76＋72＋70＋72)＝90.
∴s 2＝(70－75)2＋(76－75)2＋…＋(90－75)26
＝49. ∴s ＝7.
(2)由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有10种结果，满足条件的事件是恰有1位同学成绩在区间(68,75)中，共有4种结果，根据古
典概型得到P ＝410
＝0.4.。