棱锥、棱台的中截面与轴截面【例1】 正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，求k 的取值范围．【例2】 正四棱锥的斜高为2，侧棱长为5，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？【例3】 正四棱台的高为17，两底面的边长分别是4和16，求这个棱台的侧棱长和斜高．【例4】 已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a ，b ，c ，则它的高和斜高分别为【例5】 已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点且平行于底面的截面111A B C ∆的面积．MOC 1B 1A 1CA【例6】 如图所示的正四棱锥V ABCD -，它的高3VO =，侧棱长为7，⑴ 求侧面上的斜高与底面面积．⑵ 'O 是高VO 的中点，求过'O 点且与底面平行的截面（即中截面）的面积．典例分析板块二.截面与距离问题HO'ODCBAV【例7】 如图，已知棱锥V ABC -的底面积是264cm ，平行于底面的截面面积是24cm ，棱锥顶点V 在截面和底面上的射影分别是1O 、O ，过1O O 的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积．CA圆锥、圆台的中截面与轴截面【例8】 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14∶，母线长10，求圆锥的母线长．【例9】 一圆锥轴截面顶角为120︒，母线长为1，求轴截面的面积．【例10】 圆台的母线长为2a ，母线和轴的夹角为30︒，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，求圆台的高与上下两底面面积之和．【例11】 圆台两底半径分别是2和5，母线长是，求它的轴截面的面积；【例12】 圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30︒，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，则两底面半径为 ．CB AOO【例13】 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于2392cm ，母线与底面的夹角是45︒，求这个圆台的母线长．【例14】 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是14∶，截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长．【例15】 圆台母线长为2a ，母线与轴的夹角为30o ，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面半径以及两底面面积之和．【例16】 圆锥轴截面顶角为120︒，母线长为1．⑴求轴截面的面积；⑵过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积．球的截面【例17】 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π．求球的半径．【例18】 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别为12π和16π，求这两个截面间的距离．【例19】 （四川卷８）设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂直于OP 的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（ ）A ．3:5:6B ．3:6:8C ．5:7:9D ．5:8:9【例20】 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18AB =，24BC =、30AC =，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的半径．【例21】 （全国Ⅱ）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）A ．1BCD ．2组合体的截面分析【例22】 一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值．【例23】 （湖南理8）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ） A．2B ．1 C．12+D【例24】 （江西卷10）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD的长度分别等于M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个多面体与简单旋转体的表面最短距离问题【例25】 如图正方体1111ABCD A B C D -，其棱长为1，,P Q 分别为线段1AA ，11C D 上的两点，且11A P C Q λ==．求在正方体侧面上从P 到Q 的最短距离．【例26】 已知如图，正三棱柱ABC DEF -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达D 点的最短路线的长为____．FED CBA【例27】 如图所示，正三棱锥S ABC -的侧棱长为1，45ASB ∠=o ，M 和N 分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN ∆的周长的最小值．【例28】 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，a AB =，b BC =，c BB =1，并且0>>>c b a ．求沿着长方体的表面自A 到1C 的最短线路的长．c b aD 1C 1B 1A 1D CB A【例29】 如图所示，设正三棱锥V ABC -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，AVB θ∠=．过A作与侧棱,VB VC 相交的截面AEF ，求截面周长的最小值．F ECBAV【例30】 如图，圆台上底半径为1，下底半径为4，母线18AB =，从AB 中点M 拉一绳子绕圆台侧面转到A 点（A 在下底面）．⑴求绳子的最短长度；⑵求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．A【例31】 已知以A 为顶点的正四面体A BCD -，其棱长为1，,P Q 分别为,AB CD 上的两点，且AP CQ λ==．求在正四面体侧面上从P 到Q 的最短距离．B【例32】 （江西，理15）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ==12BB =，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为1AA 、11C B 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 ．1A【例33】 如图所示，正三棱锥S ABC -的侧棱长为1，40ASB ∠=o ，M 和N 分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN ∆的周长的最小值．球面距离【例34】 （辽宁）在体积为的球的表面上有A B C ，，三点，1AB =，BC =，A ，C ，则球心到平面ABC 的距离为 ．【例35】 （四川卷理10）已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是π4，B 、C 两点的球面距离是π3，则二面角B OA C --的大小是（ ） A ．π4 B ．π3 C ．π2 D ．2π3【例36】 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为π2R ，求过A 、B 的平面中，与球心的最大距离是多少？【例37】 已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，且AB AC BC R ===，那么,A B两点的球面距离为_________，球心到平面ABC 的距离为_________．【例38】 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为π2R ，求过A 、B 的平面中，与球心的最大距离是多少？【例39】 （陕西）如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1O O =，A 、B 是圆1O 上两点，若，A B 两点间的球面距离为2π3，则1AO B ∠= ．【例40】 （四川卷）如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠=o ，BA BC =，球心O 到平面ABC B 、C 两点的球面距离是（ ） A ．π3 B ．π C ．4π3D ．2π【例41】 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过3个点的小圆的周长为4π，求这个球的半径．【例42】 （浙江）如图，O 是半径为1的球心，点,,A B C 在球面上，,,OA OB OC 两两垂直，,E F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点,E F 在该球面上的球面距离是（ ）A ．π4 B ．π3 C ．π2DEFGOC BA【例43】 （安徽）已知A B C D ，，，在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，若6AB =，AC =8AD =，则,B C 两点间的球面距离是 ．【例44】 ⑴（辽宁卷文）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60︒纬线长和赤道长的比值为（ ） A ．0.8B ．0.75C ．0.5D ．0.25⑵ 在半径为R 的球面上有A ，B 两点，球心为O ，半径OA ，OB 的夹角是π3，则A ，B 两点的球面距离为________．【例45】 在北纬60︒纬线上有A ，B 两地，它们分别在东经60o 与西经120o 的经线上，设地球半径为R ，求A ，B 两地的球面距离．【例46】 已知地球的半径为R ，球面上,A B 两点都在北纬45︒圈上，它们的球面距离为π3R ，A 点在东经30︒上，求B 点的位置及A ，B 两点所在的纬线圈上对应的劣弧的长度．【例47】 从北京A （靠近北纬45o 、东经120o ，以下经纬度均取近似值）飞往南非首都约翰内斯堡B （南纬30o 、东经30o ），有两条航空线可供选择：甲航空线：从北京A 沿纬线向西飞到土耳其首都安卡拉C （北纬45o 、东经30o ），然后向南飞到目的地B ．乙航空线：从北京A 沿经线向南飞到澳大利亚的珀斯D （南纬30o 、东经120o ），然后向沿纬线向西飞到目的地B ．请问：哪一条航空线较短？如果这条航线的两段都分别选择最短路线，那么这条航线的总长为多少？（地球视为半径R 的球）【例48】 （陕西）长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在球O 的球面上，其中1::AB AD AA =．A B ，两点的球面距离记为m ，1A D ，两点的球面距离记为n ，则mn的值为 ．【例49】 （湖南）长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且121AB AD AA ===，，则顶点A B ，间的球面距离是（ ）A B C D ．【例50】 在半径为R 的球内，有一个内接正三棱锥，它的底面上的三个顶点恰好在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三顶点后返回，则经过的最短路程是_______．。