(x 3)2 y2 9 圆心 (3,0) ，半径 3 。
过圆内一点的直线截得弦长最小值：与圆内该点与圆心连线垂直的直线截得弦长。
如下图所示：
根据两点之间的距离公式得到： PC (3 1)2 (0 2)2 22 22 8 ；
根据勾股定理得到： PA2 AC 2 PC 2 9 8 1 PA 1 ；
(1 m2 )x2 6m2 x (9m2 9) 0 。直线 PB 与椭圆 E 交于 B ， D 两点。
根据韦达定理得到： xB
xD
6m2 1 m2
， xB
3
3
xD
6m2 1 m2
xD
6m2 1 m2
3
6m2 3(1 m2 ) 1 m2
6m2 3 3m2 1 m2
3m2 3
。
9 m2
AG GB 8 a a 1 (1) 8 a2 y2 1 。 a 3 A(3,0) ， B(3,0) 。 9
（2） P 为直线 x 6 上的动点 假设：点 P 的坐标为 (6, m) 。
P(6, m)
，
A(3,0)
)
，
D(
3m2 3 1 m2
,
2m 1 m2
)
kCD
6m 2m 9 m2 1 m2 27 3m2 3m2 3
6m(1 m2 ) 2m(9 m2 ) (27 3m2 )(1 m2 ) (3m2 3)(9 m2 )
9 m2 1 m2
6m 6m3 18m 2m3
8m3 24m
（1）求 E 的方程；
（2）证明：直线 CD 过定点。
本题解析：（1） A ， B 分别为椭圆 E ： x2 y2 1的左右顶点 A(a,0) ， B(a,0) ； a2
2
G 为椭圆 E ： x2 y2 1的上顶点 G(0,1) 。 a2
AG (0,1) (a,0) (a,1) ， GB (a,0) (0,1) (a,1) ；
yD
m 3
(xD
3)
m 3
(3m2 3 1 m2
3)
m 3
3m2
3 3(1 m2 ) 1 m2
m 3m2 3 3 3m2 m 6 2m 。
3
1 m2
3 1 m2 1 m2
所以：
D
点的坐标为
(
3m2 3 1 m2
,
2m 1 m2
)
。
C(
27 9
3m2 m2
,
9
6m m2
)
。
P(6, m) ， B(3,0)
k PB
m0 63
m 3
；
根据点斜式得到 PB 的方程： y m (x 3) 。 3
3
联立 y m (x 3) 和 x2 y2 1得到：
3
9
x2 m2 (x 3)2 1 x2 m2 (x 3)2 9 99
x2 m2 (x2 6x 9) 9 0 x2 m2 x2 6m2 x 9m2 9 0
27 27m2 3m2 3m4 27m2 3m4 27 3m2 6m4 54
8m(m2 3) 8m(m2 3) 4m 4m 。 6(m4 9) 6(m2 3)(m2 3) 3(m2 3) 9 3m2
(9 m2 )x2 6m2 x (9m2 81) 0 。直线 PA 与椭圆 E 交于 A ， C 两点。
根据韦达定理得到： xA
xC
6m2 9 m2
，
xA
3
3
xC
6m2 9 m2
xC
6m2 9 m2
3
6m2 3(9 m2 ) 9 m2
6m2 27 3m2 9 m2
k PA
m 6
0 (3)
m 9
；
根据点斜式得到 PA 的方程： y m (x 3) 。 9
联立 y m (x 3) 和 x2 y2 1得到：
9
9
x2 m2 (x 3)2 1 9x2 m2 (x 3)2 81 9 81
9x2 m2 (x2 6x 9) 81 0 9x2 m2 x2 6m2 x 9m2 81 0
27 3m2 9 m2
。
yC
m 9
( xC
3)
m 9
( 27 3m2 9 m2
3)
m 9
27 3m2 3(9 9 m2
m2 )
m 27 3m2 27 3m2 m 54 6m 。
9
9 m2
9 9 m2 9 m2
所以：
C
点的坐标为
(
27 9
3m2 m2
,
9
6m m2
y2 0
4 ②。
把①代入②中得到：
x2 0
3x02
3
4
4 x0 2
7
x2 0
7 4
y2 0
3
7 4
3
9 4
1
y0
3 2
。
双曲线 C ： x2 y2 1 a2 1， b2 3 c2 a2 b2 1 3 4 c 2 3
左焦点 F1(2,0) ，右焦点 F2 (2,0) 。
2020 年高考试题：解析几何
训练一：2020 年高考文科数学新课标Ⅰ卷第 6 题：已知圆 x2 y2 6x 0 ，过点 (1,2) 的直线被该
圆所截得的弦的长度的最小值为（
）
A、1
B、 2
C、 3
D、 4
本题解析：圆 x2 y2 6x 0 (x2 6x) y2 0 (x2 2 3 x 32 ) y2 32
P 为 AB 的中点 AB 2PA 2 。
训练二：2020 年高考文科数学新课标Ⅰ卷第 11 题：设 F1 ， F2 是双曲线 C ： x2
y2 3
1 的两个焦
点， O 为坐标原点，点 P 在 C 上且 | OP | 2 ，则 PF1F2 的面积为（
）
A、 7 2
B、 3
C、 5 2
D、 2
本题解析：假设：点 P 的坐标为 (x0 , y0 ) 。
P(x0 , y0 ) 为双曲线 C ： x2
y2 3
1 上一点
x2 0
y2 0 3
1 3x02
y2 0
3
y2 0
3x02
3 ①。
根据两点之间距离公式得到：
P(x0 , y0 ) ， O(0,0) | OP |
x2 0
y2 0
2
x2 0
如下图所示：
S 所以： PF1F2
14 3 22
3。
训练三：2020 年高考数学新课标Ⅰ卷文科第 21 题理科第 20 题：已知 A ， B 分别为椭圆 E ：
x2 a2
y2
1（ a
1）的左右顶点， G
为
E
的上顶点，
AG
GB
8，
P
为直线
x
6
上
的动点， PA 与 E 的另外一个交点为 C ， PB 与 E 的另一个交点为 D 。