z1 = 则平衡点为
3
3 4q , z 2 = z 3 =
q 2
2
( (4q) 3 及
TL
Ρ
1
(4q) 3 +
uυd , -
1
(4q) 3 +
TL
Ρ
,
-
1
(4q) 3 )
(
(
q 2
)
2 3
-
TL
Ρ
(
q 2
)
1 3
+
uυd , -
(
q 2
)
1 3
+
TL
Ρ
,
-
(
q
)
1 3
)
2
这里, p = uυd + Α, q = -
Β2 <
0 (假设
～Ξ的三个值由 (6) 式解出为
= L = 14. 25m H; R 1= 0. 98 ; 7 r= 0. 031Nm A ;
np = 1; J = 4. 7×10- 5kgm 2; Β= 0. 0162N rad s. 对于 uυd = uυq= T L = 0的情形, 如果 Ρ= 5. 46,
则 通过适当的参数选取使得 Χh = 14. 93, (5) 式
对应的线性化系统出现极限环。对于初始条件
(κid
,
κiq,
～
Ξ)
=
( 0.
01, 0.
01, 0.
01) , 当 Ρ=
5.
46时, Χ
分别为14. 1、14. 93、20时的仿真结果如图1、图2、
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3
～Ξ1 =
-
q 2
+
3
+
-
q 2
-
3
～Ξ2 =
-
q 2
+
3
+
-
q 2
-
3
～Ξ3 =
-
q 2
+
3
+
-
q 2
-
q 2
2
+
p3 3
q 2
2
+
p3 3
q 2
2
+
p 3
3
Ξ
q 2
2
+
p 3
3
Ξ2
q 2
2
+
p 3
3
Ξ2
q 2
2
+
p 3
3
Ξ
其中 Ξ=
-
1+ 2
3 i。
将它们分别代入 (4)、(5) 两式即可解出平衡
第20105卷1年第62月期
F模uz zy糊Sy st系em s 统an d M与a th数em at学ics V oJl.un1.5,,
N o. 2 2001
文章编号: 100127402 (2001) 0220102205
永磁同步电动机中的混沌现象Ξ
张 卓1, 李 忠2, 任 平3
现混沌。
如果只在实空间里讨论, 则有 ∃ ≤0, 这里
∃=
q 2
2
+
p 3
3
,
p=
(uυd -
Χ+ 1) -
1 3
TL
Ρ
2
,
q=
2 27
TL
Ρ
3
-
1 3
TL
Ρ
(uυd -
Χ+
1) +
TL
Ρ
-
uυq.
我们考虑如下两种情形:
(1) ∃= 0 如果 ∃ = 0, (6) 式有三个实根, 其中两个相 等, 它们是
J
uυd =
1 R 1kud
uυq =
1 R 1kuq
T L =
Σ2
J TL
首先研究气隙均匀的永磁同步电动机混沌
模型特性, 即考虑 L d = L q= L 的情形, 模型变为
ddκiκtd = - κid + ～Ξκiq+ uυd
ddκiκtq= -
κiq-
～Ξκid +
第2期 张卓, 李忠等: 永磁同步电动机中的混沌现象
105
图3所示, 它们说明在经过一段时间的运行后突 然断电, 系统在不同的参数选择下呈现不同的动 态特性。
图1 Χ= 14. 1时出现极限环 图2 Χ= 14. 93时开始呈现混沌
图5 ud = uυdh时开始呈现混沌
图6 ud = uυdh- 3时出现混沌
(11暨南大学 预科部, 广东 广州 510610; 21华南理工大学 自动控制工程系, 广东 广州 510640;
31暨南大学 数学系, 广东 广州 510632)
摘 要: 讨论永磁同步电动机 (PM SM ) 的动态特性, 给出常输入电压、常外部扭矩条件下的系统稳态特 性表达式, 基于 Hopf 分支条件提出一种调节系统参数的方法, 以使其呈现极限环或混沌行为。计算机仿 真结果表明在永磁同步电动机中存在混沌现象。 关键词: 永磁同步电动机 (PM SM ) ; 极限环 (L C) ; 混沌 中图分类号: TM 32 文献标识码: A
许多问题需要进一步研究, 诸如电动机调速系统 统参数的方法, 使之呈现极限环或混沌。最后, 计
的低速特征, 即低频“振荡”。
算机仿真证实了 PM SM 中的混沌现象。
这些问题与数学与物理学中对非线性系统 的混沌研究密切相关。众所周知, 电动机的数学 模型是多变量、强藕合的非线性系统。对非线性 动力系统的动态特性的进一步研究必然涉及到 混沌。混沌是非线性系统领域的一个活跃的前 沿, 理解和利用非线性控制系统丰富的动态特性 对现代科技具有重要的影响。需要更多的努力致 力于这一科学和工程的挑战。到目前为止, 对永 磁同步电动机混沌现象的研究还非常有限。
为明确说明, 给出 PM SM 如下设定: L d = L q
(2) ∃< 0
如果 ∃ < 0, (6) 式有三个不相等的实根。要 使 ∃ < 0, 即 要 选 取 适 当 的 uυd 使 得 ∃ = uυd3 +
a2 9
+
3Α uυd2 +
3Α2 -
uυ2、T L 已给定)。
2 3
ΑΒ
uυd +
Α3 +
L o renz 方程等价。可知原点是其一个平衡点, 另
外两个平衡点由 (4)、(5)、(6) 式解得为
κiedq
Χ- 1
κieqq = ± Χ- 1
(7)
Ξ～ eq
± Χ- 1
(3) 式对应的线性化方程的特征多项式为
D (Κ) = Κ3+ (2+ Ρ) Κ2+ [ 1+ 2Ρ+ Ρ(x - Χ) + z 2 ]Κ
不稳定[3 ]。 3. 2 uυq= T L = 0, uυd ≠0的情形
在 uυq = T L = 0, uυd ≠0的情形下, 如果 Χ- ud
> 1, 平衡点定义为
κiedq
Χ- 1
κieqq = ± Χ- 1 - uυd
(9)
Ξ～ eq
± Χ- 1 - uυd
当 uυd = uυdh =
1 引言
电动机稳态特征的表达式, 通过求解一个三阶多 项式方程可得到稳态值; 其次, 讨论如何调节无
20世纪70年代以来, 科学家对电动机的动态 外部输入和负载的 PM SM 的参数, 使其本身呈
特性进行了广泛的研究, 涉及到电动机的起动、 现极限环或混沌行为; 此外, 讨论更一般的情形,
调速和振动。在电动机的动力学研究领域, 仍有 即有外部输入和负载的情形。我们还给出调节系
图3 Χ= 20时出现混沌
对于 uυq= T L = 0、uυd ≠0的情形, 图4、图5、图6 描绘了 uυd 的不同取值所对应的系统的动态特 征。uυdh可通过数值解得, 当 ud = uυdh+ 2. 3432675 时经过几次振荡后出现极限环; 当 ud = uυdh 和 ud = uυdh- 3时开始出现混沌。
～
ΧΞ+
uυq (3)
～
ddΞκt = Ρ(κiq-
～
Ξ) -
TL
κid =
～Ξ2 +
TL
Ρ
+
uυd
(4)
κiq=
～
Ξ+
TL
Ρ
(5)
～Ξ3 +
TL
Ρ
～Ξ2
+
(uυd -
Χ+
～
1) Ξ+
TL
Ρ
-
uυq= 0
(6)
通过求解 (4)、(5)、(6) 式可得到平衡点。
3 稳态运行情形
3. 1 uυd = uυq= T L = 0的情形 在 uυd = uυq = T L = 0 的 情 形 下, 方 程 ( 3) 与
104
模 糊 系 统 与 数 学 2001年
3. 3 uυd、uυq、～Ξ为一般的情形 由 (4)、(5)、(6) 式可解出相应的平衡点, 记
为 (x y z )。
如式 Ρy z = 2+ 4Ρ+ (Ρ2 + Ρ) (x - Χ) + 2z 2 +
2Ρ2成立, (3) 式对应的线性化方程组出现极限 环; 当 T L 取定, 适当调整 uυd 或 uυq 的值, 则会出