• RLC电路 • 数学摆 • 人口模型 • 传染病模型 • 两生物种群生态模型 • Lorenz方程
RL电路
基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律
在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零
RLC电路
数学摆
人口模型
• 马尔萨斯(Malthus)假设：在人口自然增长的过程 中，净相对增加率（单位时间内人口的净增长数与 人口总数之比）是常数，记为r
SI模型 易感染者：Susceptible
已感染者：Infective
SIS模型
• 对无免疫性的传染病，假设病人治愈后会再次被 感染，设单位时间治愈率为mu
SIR模型（R：移出者（Removed））
• 对有很强免疫性的传染病，假设病人治愈后不会在 被感染，设在时刻t的愈后免疫人数为r(t)，称为移出 者，而治愈率l为常数
动力系统
• Dynamical system describes the evolution of a state over time
• • Curator: Dr. Eugene M. Izhikevich, Editor-
in-Chief of Scholarpedia, the free peer reviewed encyclopedia
常微分方程 Ordinary Differential Equation
2014-2015学年第一学期
修改 h
• 课程安排：
计划上课18周（除去节假日、劳动周），
从9月1日开始，单周4节； 双周2节，上机。
教材及参考资料
• 教 材： 常微分方程，(第三版）（2007年教育部精品教材），
王高雄等（中山大学), 高教出版社
两生物种群生态模型
• 意大利数学家沃特拉(Volterra)建立了一个 关于捕食鱼与被食鱼生长情形的数学模型
• 假设在时刻t，被食鱼的总数为x(t)，而捕食 鱼的总数为y(t)
• 假设单位时间内捕食鱼与被捕食鱼相遇的 次数为bxy
• 捕食鱼的自然减少率同它们的存在数目y成 正比
Volterra被捕食-捕食模型
两种群竞争模型
Lorenz方程
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形（fractal）
吸引子
总结
• 微分方程反映量与量之间的关系，与时间 有关，是一个动态系统
• 从已知的自然规律出发，考虑主要因素， 构造出由自变量、未知函数及其导数的关 系史，即微分方程，从而建立数学模型
• 数学模型的建立有多种方式 • 研究微分方程的解和解结构的性质，检查
• 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求 它飞行的轨道等
• 研究这些问题所建立的数学方程不仅与未 知函数有关，而且与未知函数的导数有关， 这就是我们要研究的微分方程
• 基本思想:
把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系 找出来，从列出的包含未知函数及其导数的一个 或几个方程中去求得未知函数的表达式，即求解 微分方程。
微分方程的历史
• 微分方程差不多是和微积分同时产生 • 牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分
方程用级数来求解 • 瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数
学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又 不断地研究和丰富了微分方程的理论 • 法国数学家Poincare及前苏联数学家 Lyapunov等对现代微分方程理论的建立做 出了巨大的贡献
• 参考书目： [1] 常微分方程, 东北师大数学系编，高教出版社 [2] 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社 [3] 常微分方程教程，丁同仁等编，高教出版社 [4] 微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
教学安排
• 第1周——第18周，共54学时 （含国庆等假期，实际课时更少） • 考试安排：按学校、学院统一安排， • 总成绩=平时（30%）+期末（70%），有
小论文可以加分，一般每周四课代表收交 作业，并统计作业情况。
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支，是 人们解决各种实际问题的有效工具，它在几 何、力学、物理、电子技术、航空航天、生 命科学、经济领域等都有广泛的应用。
随着计算技术和计算机的快速发展，常微分 方程已经渗透到自然科学、社会科学、工程 技术等学科的任何一个领域，正发挥着越来 越大的作用。
与其他学科的关系
• 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物 理学，以及其他分支的新发展，如复变函数、李群、 组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深 刻的影响
• 当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理 论研究提供了非常有力的工具
1.1 常微分方程模型
人口模型的改进
• Verhulst：引入常数Nm（环境最大容纳量），假 设：净相对增长率为
r(1 N (t)) Nm
logistic模型
传染病模型
• 假设传染病传播期间其地区总人数不变， 为常数n，开始时染病人数为x0，在时刻t的 健康人数为y(t)，染病人数为x(t)
• 假设单位时间内一个病人能传染的人数与 当时的健康人数成正比，比例系数为k
(3) dd22txtxddxt3x0; (4) d d44 xt5d d22 xt3xsitn;
(5) z z z ; x y
(6) 2u2uxyuz0. x2 y2
常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，
则这样的微分方程称为常微分方程，ODE
第一章 绪论主要内容
• 线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对 数方程、三角方程和方程组
• 这些方程都是要把研究问题中的已知数和未知数 之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个 未知数的一个或者多个方程式，统称代数方程。
• 在实际工作中，常常出现一些特点和以上 方程完全不同的问题
• 比如：某个物体在重力作用下自由下落， 要寻求下落距离随时间变化的规律
是否与实际相吻合，不断改进模型 • 由微分方程发现或预测新的规律和性质
1.2 基本概念
• 1.2.1 常微分方程基本概念
微分方程
定义（微分方程） 联系自变量、未知函数及未知函数 导数（或微分）的关系式称为微分方程，DE
例1：下列关系式都是微分方程
(1) dy 2x; dx
(2x)d y yd0 x;