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固体物理 答案

1.在近邻近似下,按紧束缚近似,针对简立方晶体 S 能带

(1) . 计算 Es ~ k 关系; (2) . 求能带宽度;
(3) . 讨论在第一 B·Z 中心附近等能面的形状。
注:CosX=1-X2/(2!) + X4/(4!) -……
解:(1).对简立方,最近邻原子处于

Rn
=±a

i
,
±a

j
,±a
at
sk
s
a
a
e i 2 (kx ky kz )
i 2(kx ky kz )
a
a
e e i 2 (kx ky kz )
i 2(kx ky kz )
+e e e e a i 2(kx ky kz )
a i 2(kx ky kz )
a i 2(kx ky kz )

2.在近邻近似下,用紧束缚近似导出体心立方晶体 S 能带的 Es( k ),试 画出沿 Kx 方向(Ky=Kz=0)的散射关系曲线,并计算能带宽度。
解:选体心原子为参考点,最近邻原子的 2 位置

Rn
a
= 2
a

i 2
a
j 2


k (共八个)

E ( )=E -A-B e +
Es
min
=E
at s
-A-8B
当 Kx=Ky=Kz=2π /a 或 kx=2π /a;ky=kz=0 时
Esmax=East -A+8B
能带宽度=Ema x-Emin =16B 3.一个晶格常数为 a 的二维正方晶格,求:
(1)用紧束缚近似求 S 能带表示式,能带顶及能带底的位置及能带
宽度;
(2)带底电子和带顶空穴的有效质量;
2 7
1

6.已知一维晶体的电子能带可写成 E( k )= ma2 ( 8 -coska+8 cos2ka)
其中 a 为晶格常数,求(1)能带宽度;

(2)电子在波矢k 状态的速度;
(3)带顶和带底的电子有效质量。
解:(1)
2 7
1
E(k)= ma2 ( 8 -coska+ 8 cos2ka)
2 7

(1) K(x)=sin a x
8
(2) K(x)=icos a x


(3) K(x)= l f(x-la)
(f 为某一确定函数)
求电子在这些状态的波矢 K(a 为晶格常数)

解:(1) K(x)=sin a x
∴eikna =(-1)n =ei (n +2m)


K(x+na)=sin a (x+na)=sin( a x+n)
由程 。
解:对金属处于费米面上的电子,其能量
E
f

2K 2 2m
其速度
V
f

K m
f

2E f m
又因为
K
= mV f
f


2mE f
由第 9 题 又有
Kf=(3π
n ) 2
1/3
e
比较以上二式可得价电子密度
ne=
m
2V
3 f
3 23
由(7-41)式
= 1 = m nee2 (k f )

=(-1)nsin( a x )=(-1)nK(x)
(m 也为整数) kna=(n+2m) 所以

2m
K= a (1+ n )
8
(2) K(x)=icos[ a x]
8
K(x+na)=icos[ a (x+na)]
8
=icos( a x+8n)=K(x)
∴eikna=1 kna=2m
1
= ma2 8 -coska+8 (2cos2ka-1)]
2
= 4ma2 (coska-2)2-1
当 ka=(2n+1)时, n=0.1.2…
2 2
E(k)max= ma2
当 ka=2n 时 E(k)min=0
2 2
所以能带宽度=Emax-Emin= ma2
1
E

(1) 沿Γ X(Ky=Kz=0, Kx=2π δ /a,0≤δ ≤1) E=Esa-A-4B(1+2cosδ π ) (2) 沿Γ L(Kx=Ky=Kz= 2π δ /a,0≤δ ≤1/2) E=Esa-A-12Bcos2δ π
(3) 沿Γ K(Kz=0, Kx= Ky=2π δ /a,0≤δ ≤3/4) E=Esa-A-4B(cos2δ π +2cosδ π ) (4) 沿Γ W(Kz=0, Kx=2π δ /a,Ky=π δ /a,0≤δ ≤1) E=Esa-A-4B(cosδ π × cosδ π /2-cosδ π -cosδ π /2)
f. c.c
原子密度为
n a

4 a3

n=1.36na

1.36 a3
4

Kf=(32×
1.36 a3
4
)1/35.4/a
所以费米球与
f.c.c
的第一
b.z
相切。
Cu 的费米能 Ef=7.0ev,试求电子的费米速度 Vf。在 273K 时,Cu 的电
阻率为Ρ =1.56×10-8Ω ·m,试求电阻的 0 平均自由时间τ 和平均自
Es
ma
x=E
at s
-A+6B
能带宽度=Ema x-Emin =12B
(3)当 Kx, Ky, Kz 均趋于零时
Es


k


E
at s
—A—2B(1—
K
2 x
a
2
2
1
K
2 y
a
2
2
1
K z2 a 2

=
a2
E
at s
—A—2B
3

2
K
2 x

K
2 y

K
2 z


─── 球形
解:面心立方最近邻的原子数为 12,根据禁束缚近似 S 带计算公
式,(教材 P184)
a
a
a
a
a
Es(K)=Esa-A-4B(cos 2 Kx·cos 2 Ky+ cos 2 Ky·cos 2 Kz+ cos 2 Kz·cos
a
2 Kx)
把各方向的 Kx、Ky、Kz 值代入上式即可得到相应的答案,具体计算略
带顶空穴有效质量 mh* =- m*= 2 /(2a2B)
(3)
v

1
▽kEs(
k
)=
1
*2aB(sinKxa
i
+sinKya
j
)
4.利用一维 Bloch 电子模型证明:在布里渊区边界上,电子的能量
取极值。
解:由教材式(6-76)、(6-77)
E+=Th+ |Vh| + Th(2Th/|Vh| +1)Δ 2
所以

(= 3 23
e
2
mV
3 f
在 Ef 附近,由于电子受核作用(晶格场作用)较弱,可设 m=m e 则
代入数据,可得
Vf=1.57×106 米/秒 10-8 米
τ f=2.68×10-14 秒 λ =τ Vf f=4.21×
以上答案来自网络,经本人整理,有 哪里不详细的,730 见 考试挂科跟本人没关系啊
与原子浓度
na
之比
n na
=1.36
时,费米球与
fcc
第一布里渊区的边界接
触。
解:由教材 p181 图 6-20,f.c.c 的第一 B、Z 为 14 面体,14 面体表
面离中心 T 点最近的点为 L 点。坐标为 2 (1/2.1/2.1/2) TL 距离为 2
a
a
3 =
4a
3 5.4/a
由上题费米球半径为 Kf=(32n)1/3
Ef
Ef
N= f·D·dE= DdE =
4Vc
(2m)
3 2
E
1 2
dE
0
0
0
h3
=
4Vc h3
(2m) 32
2 3
Ef
3 2
=
4Vc h3

2 3
(k f
)3
=
Vc
K
3 f
3 2
又 价电子浓度 n= N
Vc
所以
Kf=(32
N Vc
)1 3
=
(32n)1/3
12.据上题,当电子浓度 n 增大时,费米球膨胀。证明当电子浓度 n
2m
k= na


(3) K(x)= l f(x-la)




K(x+na)=l f(x+na-la)= l fx-(l-n)a
设 l-n=m


K(x+na)=m f(x-ma)=K(x)
所以 eikna=1
kna=2N
N 也为整数和

2 N
∴ K= na

(2) ( K )= E ( K )= K =( ma )[sinka-(1/4) sin2ka]
m* 2 2E K 2
(3) = m (coska-1/2 cos2ka)-1 当 k=0 时 为带底,m* =2m; 当 k=π /a 时 为带顶,m*=-2m/3
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