式中，n
arctan
bn an
cn
an2bn2
Opposite Hypotenuse
为n次谐波初始相位。 为n次谐波振幅。
！ 并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！
f ( t ) 可展开为傅里叶级数的条件：
（1）f ( t 绝) 对可积，即： t2 f (t) dt t1
（2）f ( t 在) 区间内有有限个间断点；
第3章 傅里叶变换
重点：
1.傅里叶级数定义及适用条件 2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱 3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质 4.周期信号的傅里叶变换 5.抽样定理 6.功率频谱与能量频谱 7.系统频域分析法 8.希尔伯特变换
3.1 傅里叶变换的产生
傅里叶1768年生于法国,1807年提 出“任何周期信号都可用正弦函数 级数表示”, 1822年在“热的分析 理论”一书中再次提出。1829年 狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。 傅里叶变换得到大规模的应用，则 是到了上世纪60年代之后。
T0 2
T0 2
(t)ejn0tdt1 T0
T0
(t)
1 T0
ejn0t
n
a0
1 T0
又
anT20 T2 T020(t)cosn0tdtT20
bn 0
T 0 ( t )
的三角傅里叶级数为：T0(t)T10 T20
cosn0t
n1
例 求下图中三角波的三角傅里叶级数。
解 （1）将周期函数 f ( t ) 在 t [0,T0]内的函数记为
第一个过零点为n =4 。 F&n 在2π/有4值1（谱线）
f (t)
1
T
2
o
2
谱线间隔 2 π T
1 F&n
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(2 ) 0
π 2π
2
情况2： T 8,F & nT S a (n T )8 1S a (n 8 )
第一个过零点n=8
脉冲宽度缩小一倍
f (t)
Tt1
f(t)[cos(n1t)jsin(n1t)]dtT 2 tt12
f(t)ejn1tdt
2. 直接从复变正交函数集推导 将原函数 f ( t )在复变正交函数空间
{ej(n1t) n1,2,L}中展开，有
f (t) Fn ej(n1t) n
式中
Fn
t2 f(t)(ejn1t)*dt
t1
f(t)AA sinn0t 2 πn1 n
3.2.3 傅里叶级数的MATLAB仿真实现
常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。
f(t)NF n e jn 1 t a 0 N a n c o s (n1 t) N b n s in (n1 t)
n N
n 1
n 1
用MATLAB的符号积分函数int()可表示上式。格式为： （1）intf=int(f,v) ； 给出符号表达式f对指定变量v的 （不带积分常数）不定积分； （2）intf=int(f,v,a,b) ； 给出符号表达式f对指定变量v 的定积分。
1
FnT
/2ejn1tdt1ejn1t /2 2sinn21
/2
Tjn1/2 T n1
b
b24ac 2a
Tsin n2n 121
Sa(n1),
T2
n0,1,2,L
包络线
频谱图随参数的变化规律： 1）周期T不变，脉冲宽度变化
情况1： T 4,F & nT S a (n T )1 4S a (n 4 )
1
T
2
o
2
T
t
谱线间隔不变 2 π
T
F&n
1 8
幅值减小一倍 第一amp; nT S a (n T ) 1 1 6S a (n 1 6)
第一个过零点为n =16。
脉冲宽度再缩小一倍
f (t)
1
T
2
o
2
谱线间隔不变 2 π
T
1 F&n
16
偶谐函数
满足 f(tT/2)f(t) 的周期为T 的 函数；即平移半个周期后信号与原信 号重合。
2．横轴对称性 （1）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。 （2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。
如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那 么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分 量也包含有偶次谐波分量。
t2 t1
f(t)sin(n1t)dt
或 f(t)a 2 0n 1(a nc o sn1 t b nsinn1 t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
ant2t1
t2 t1
f(t)cos(n1t)dt
同上式
另一种形式
f(t)a20n 1cncos(n1tn) t
n=1
n>1
直流分量 基波分量 n次谐波分量
谱线间隔 2π π
T 2
f (t)
1
T
2
o
2
T
1 4
F&n
t
示意图
幅值:
F0
Sa(0)1
T
4
0
2π
第一个过零点
情况 2：
T 8 时，谱线间隔
2π π T 4
第一个过零点 2 π
周期T扩展一倍
f (t) 1
T
2
o
2
谱线间隔减小一倍
1
4
1
FF n& n
8
示意图
T
t
T
幅值减小一倍
3.3 周期信号的对称性
1．纵轴对称性 （1）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有 直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。 （2）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有
正弦分量（即奇函数之和仍然是奇函数）。
定义：
奇谐函数
满足 f(tT/2)f(t) 的周期为T 的 函数；即平移半个周期后的信号与原 信号关于横轴对称。
将 f ( t ) 去除直流分量，则仅剩交流分量 f A C ( t )
fAC(t)f(t)nTA0[u(tnT0)u(t(n1)T0)]
n[ATA0 (t
nT0)]{(t
nT0)(t
(n1)T0)}
TA0 An(tnT0)TA0 A(T10
2 T0
n1cosn0t)2TA 0 n1cosn0t
t2(ejn1t)(ejn1t)*dt
1 T
t2 f(t)ejn1tdt
t1
t1
Fn
Fn
ejn
An 2
例 已知冲激序列
…
T0(t) (tkT0)
k
T 0 ( t ) (t T0 )
(t)
…
-T0 O T0 2T0 t
求 T 0 ( t ) 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。
解
FnT10
1. 周期矩形脉冲信号 (1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解
（3）f ( t )在区间内有有限个极值点。
Direchlet条件
傅里叶级数存 在的充要条件
3.2.2 傅里叶级数的复指数形式
1. 从三角函数形式的傅里叶级数推导
利用欧拉公式:
e e j(n 1t n) j(n 1t n)
cos(n1tn)
2
f(t)1 2n [cnej(n 1 t n)]1 2n [A nej(n 1 t)]
cos(n1t)cos(m1t)dt 0
sin(n1t)sin(m1t)dt
0
,
mn
（2）“单位”常数性，即当 n 0 时，有
t1 t2 c o s 2 (n1 t)d tt1 t2 s in 2 (n1 t)d t T 2 t2 2 t1
t2 t1
1dt
T
t2
t1
可以将“任意”周期函数f ( t ) 在这个正交函数集中展开为
！ 利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将
其直流分量去掉，以免发生误判。
例 已知奇谐函数：
解
f (t) E
2
T1
o
T1
t
2
E2
f (t)
2
f (t T1 )
2
f (t) E
2
f (t)
E
cos(1t
T1 2
)
2
T1
o
2
sin 1t
E
2
T1 t
T1
o
2
sin ( 1 t
T1 2
)
2 cos 1 t
f 带 宽1 不变。
• T 由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小
。
• T 时，谱线间隔 0 ，这时：
周期信号 非周期信号；离散频谱 连续频谱
3.4.2 常见周期信号的频谱
典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅 里叶变换。典型周期信号如下：
1. 周期矩形脉冲信号 2. 周期对称方波信号 3. 周期锯齿脉冲信号 4. 周期三角脉冲信号 5. 周期半波余弦信号 6. 周期全波余弦信号
E 2
T1 t 2
f (t) E
2
f (t) E 2
T1
o
2
E
sin 21t 2
T1 t 2
T1
o
T1
t
2
E
2
cos 21t
2
3.4 常见周期信号的频谱
3.4.1 频谱的概念
振幅频谱
频 （幅频特性图） 谱 图
相位频谱
（相频特性图）
表示信号含有的各个频率分量 的幅度值。其横坐标为频率 （单位为赫兹），纵坐标对应各 频率分量的幅度值 。F n