互动课堂
疏导引导
关于周期函数的概念，也可以叙述为：如果某函数对于自变量的一切值，每增加或减少一个定值（这样的值可以有很多个），函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数.例如：
sin(α+2kπ)=sinα(k ∈Z )
这表明，正弦函数在定义域内，自变量每增加（k ＞0时）或减少（k ＜0时）一个定值2|k|π，它的函数值就重复出现，所以正弦函数是周期函数.
理解周期函数的概念要注意以下三点：①存在一个常数T≠0；②对其定义域内的每一个x 值，x+T 也属于定义域；③当x 取定义域内每一个值时，f(x+T)=f(x)恒成立.
在理解周期函数定义时，首先要特别注意函数f(x+T)=f(x)恒成立是对f(x)的定义域中的每一个x 值都成立，例如y=sinx(x ∈R )对于x=3π,T=3π，显然有sin(3π+3π)=sin 3π，但T=3π不是它的周期.其次应注意，周期性不是三角函数的专有性质.
利用周期函数的定义，可以推得周期函数的一个必要不充分条件：它的定义域至少一方无界.例如y=sinx,
x ∈［-4π,10π］就不是周期函数，而y=sinx,x ∈［2π,+∞)是只有正周期的周期函数.
对于每一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.例如，2π是正弦函数的所有周期中的最小正数，所以2π是正弦函数的最小正周期.值得注意的是：并非每一个周期函数都有最小正周期.例如，任意非零常数都是常数函数f(x)=c(c 为常数)的周期，因而常数函数无最小正周期.
对于f(x)=Asin(ωx+φ)的周期公式T=ωπ
2,应明确A,ω,φ为常数，且A≠0，ω＞0，还应掌
握这个公式的推导方法.下面作为例子给出f(x)=Asin(ωx+φ)的周期公式T=ωπ
2的推导过程.
令Z=ωx+φ，由y=AsinZ 的周期是2π知f(Z+2π)=Asin(Z+2π)=Asin(ωx+φ+2π)=Asin ［ω(x+ωπ2）+φ］=f （x+ωπ
2）=f(Z)=Asin(ωx+φ)=f(x)对一切x 都成立，所以T=ωπ
2是y=Asin(ωx+φ）的
周期.
活学巧用
【例1】 求y=sin2x 的周期.
解:ω=2，∴T=|ωπ
2|=2
2π=π. 【例2】 求y=sin(
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21π+x )的周期. 解:∵ω=2
1，由T=||2ωπ得T=212π=4π. 【例3】 设y=f(t)是某港口水的深度，y （米）关于时间t(时)的函数，0≤t≤24，下表是该港
经观察，函数y=f(t)的图象可近似地看成函数y=k+Asin(ωx+φ)的图象，下面的函数中，最能
近似表示数据间对应关系的函数是（其中t ∈［0,24］）( ) A.y=12+3sin
t 6π B.y=12+3sin(t 6π+π) C.y=12+3sin t 12π D.y=12+3sin(12t π+2π) 解析：根据图表画出y=A(sinωx+φ)+k 的图象，如图.
∴A=
2915-=3，k=2
915+=12， T=12，ω=61222πππ==T ，φ=0. ∴y=3sin t 6π
+12.
答案：A。