河北安平中学2013-2014学年第一学期第一次月考高二数学试题（理）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．不确定2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于( )A ．4B ．2C ．1D ．－23．地上画了一个角∠BDA ＝60°，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米 后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点N ，则N 与D 之间的距离为( )A ．14米B ．15米C ．16米D ．17米4．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )A ．103B ．10818C ．10318D ．1085．在△ABC 中，已知sin C ＝2sin Acos B ，那么△ABC 一定是( )． A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn(a 、b ∈R)，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( )A ．16B ．8C ．4D ．不确定7．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．1218．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为Πn ，则Π 2 011的值为( )A ．－12B ．－1C.12D ．29．已知数列{a n }满足a 1＝1且a n ＋1a n ＝n ＋1n，则a 2 012＝( )A ．2 010B ．2 011C ．2 012D ．2 01310.在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos (B ＋C)＋3＝0，则角B 的大小为A.π6B.π4C.π3D.5π611．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．1612.在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.已知c ＝2，C ＝π3，S △ABC ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．6B ．5C ．4D ．1＋2 3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．数列54，109，17a ＋b ，a －b 25，…中，有序数对(a ，b)可以是__________． 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3，则△ABC 的面积为________．15已知数列{a n }满足a n ＝a n －13a n －1＋1，a 1＝1，则a n ＝________.16．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 15＝225.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .19．(12分)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，tan A ＋tan B ＝3－3tan Atan B ，a ＝2，c ＝19.(1)求tan(A ＋B)的值；(2)求△ABC 的面积．20. （12分）已知数列{a n }满足：S n ＝1－a n (n ∈N *)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝n a n (n ∈N *)，求{b n }的前n 项和公式T n .21.（12分）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝2，S △ABC ＝2. (1)求tan A 的值；(2)若sin B ＝2cos Asin C ，求BC 的长．22．(12分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .高二数学试题(理)答案4.解析：根据题意结合二次函数的性质可得：a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n 2－292n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋3＋29×298.∴n ＝7时，a n ＝108为最大值． 答案：D5.解析 ∵sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝2sin Acos B ， ∴sin Acos B －cos Asin B ＝0， 即sin(A －B)＝0，又∵0<A<π，0<B<π， ∴A ＝B ，故选B. 答案 B6.解析：由数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn(a 、b ∈R)，可得数列{a n }是等差数列，S 25＝1＋a 252＝100，解得a 1＋a 25＝8，所以a 1＋a 25＝a 12＋a 14＝8.答案：B7.解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120. 答案：C8.解析：由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而Π 2 011＝Π1＝2.答案：D12.解析： 由S △ABC ＝12absin π3＝34ab ＝3，得ab ＝4.根据余弦定理知4＝a 2＋b 2－2abcos π3＝(a ＋b)2－3ab ，所以a ＋b ＝4.故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝6，选A.答案： A13.解析：从上面的规律可以看出⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝16，a －b ＝26，解上式得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝21，b ＝－5.答案：(21，－5)14.解析 依题意得cos A ＝2cos 2A2－1＝35，sin A ＝1－cos 2A ＝45，AB →·AC →＝AB·AC·cos A＝3， AB·AC＝5，△ABC 的面积等于 12AB·AC·sin A＝2. 答案 215.解析： 取倒数：1a n ＝3a n －1＋1a n －1＝3＋1a n －1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，1a n ＝1a 1＋3(n －1)＝1＋3(n －1)⇒a n ＝13n －2.答案：13n －216.解析：如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中， 由正弦定理得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝302． 答案：30 2＝12(4＋42＋ (4))＋2(1＋2＋…＋n) ＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23·4n ＋n 2＋n －23. 19.解析 (1)∵tan A ＋tan B ＝3－3tan Atan B ＝3(1－tan Atan B)，∴tan(A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan Atan B ＝ 3.(2)由(1)知A ＋B ＝60°，∴C ＝120°. ∵c 2＝a 2＋b 2－2abcos C.∴19＝4＋b 2－2×2×b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，∴b ＝3.∴S △ABC ＝12absin C ＝12×2×3×32＝332.20.解：(1)∵S n ＝1－a n ，①∴S n ＋1＝1－a n ＋1，②②－①得，a n ＋1＝－a n ＋1＋a n ，∴a n ＋1＝12a n (n ∈N *)，又n ＝1时，a 1＝1－a 1，∴a 1＝12.∴a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n ∈N *.(2)∵b n ＝n a n＝n·2n (n ∈N *)，∴T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.③∴2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n ＋1.④③－④得，－T n ＝2＋22＋23＋ (2)－n×2n ＋1＝－2n1－2－n×2n ＋1，整理得，T n ＝(n －1)2n ＋1＋2，n ∈N *.21.解 设在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. (1)∵AB →·AC →＝2，∴bccos A ＝2， 又S △ABC ＝2，∴12bcsin A ＝2，∴tan A ＝2.(2)∵tan A ＝2，∴cos A ＝55， 由于sin B ＝2cos Asin C ， ∴cos A ＝sin B 2sin C ＝b2c ，∴b ＝255 c ，又bccos A ＝2，即55bc ＝2， 故c ＝5，b ＝2.从而a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝5. ∴a ＝5，∴BC ＝ 5.22.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， 所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2. 由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝1＋a n2， 所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n(n ＋2)． (2)因为a n ＝2n ＋1， 所以a 2n －1＝4n(n ＋1)， 因此b n ＝1＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n＋，所以数列{b n}的前n项和T n＝n＋.。