一元二次方程知识点总结知识结构梳理（1）含有 个未知数。

（2）未知数的最高次数是1、概念 （3）是 方程。

（4）一元二次方程的一般形式是 。

（1） 法，适用于能化为)((0)2≥=+n n m x 的一元二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式， 2、解法 （a ，b 为两个因式）, 则a=0或 （3） 法（4） 法，其中求根公式是根的判别式当 时，方程有两个不相等的实数根。

（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。

当 时，方程有没有的实数根。

可用于解某些求值 （1） 一元二次方程的应用（2） （3） 可用于解决实际问题的步骤 （4）（5） 一元二次方程（6）知识点归类知识点一 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？ ⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x 知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。

其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

例1 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

知识点四 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。

注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。

例 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场 ，鸡场一边靠墙（墙长18m ），另三边用竹篱笆围成，若竹篱笆的长为35m ，求鸡场的长和宽各为多少？鸡场因式分解法、直接开平方法知识点一 因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。

（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。

例 用因式分解法解下列方程：（1）x x 452=； （2）025)32(2=--x ； （3）()222596x x x -=+-。

知识点二 直接开平方法解一元二次方程若()02≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，表示为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。

例 用直接开平方法解下列一元二次方程（1）01692=-x ； （2）()01652=-+x ； （3）()()22135+=-x x （因式分解）知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程形如()()002≥=-+k k b ax 的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。

例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。

（1）()036542=--x ； （2）()03212=--x知识点四 用提公因式法解一元二次方程把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。

如：0201.02=-t t ，将原方程变形为()0201.0=-t t ，由此可得出200,0020.0021===-=t t t t ，即或注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。

知识点五 形如“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”的方程的解法。

对于形如“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为()()0+++b x a x ，则00=+=+b x a x 或，即b x a x -=-=21,。

注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“()()为常数b a b x b a x ,02=+++”型方程的特征。

例 解下列方程：（1）0652=+-x x ； （2）0122=--x x配方法知识点一 配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程02=++q px x ，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例 用配方法解下列方程：（1）0562=-+x x ； （2）02272=--x x知识点二 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；（2） 把原方程变为()n m x =+2的形式。

（3） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。

例 解下列方程：0342=+-x x知识点三 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为()n m x =+2的形式； （3）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

例 用配方法解下列方程：（1）02932=+-x x ； （2）0342=+--x x公式法知识点一 一元二次方程的求根公式一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的求根公式是：a ac b b x 242-±-= 用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式，确定的值c b a .,（注意符号）；（2）求出ac b 42-的值；（3）若042≥-ac b ，则.,b a 把及ac b 42-的值代人求根公式aac b b x 242-±-=，求出21,x x 。

例 用公式法解下列方程（1）01322=--x x ； （2）()0122=++x x ； （3）0252=++x x知识点二 选择适合的方法解一元二次方程直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

例 用适当的方法解下列一元二次方程：（1）()()2232932+=-x x ； （2）0682=+-x x ； （3）()0)1(2=-+x x知识点三 一元二次方程根的判别式一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的判别式 △=ac b 42-运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：（1） △=ac b 42-﹥0⇒方程有两个不相等的实数根；（2） △=ac b 42-=0⇒方程有两个相等的实数根；（3） △=ac b 42-﹤0⇒方程没有实数根；利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况。

例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：（1）05322=--x x ；（2）253092-=x x ；（3）01062=++x x知识点四 根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

例 m 为何值时，方程()0324122=-+++m mx x m 的根满足下列情况：（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根；知识点五 一元二次方程的根与系数的关系若21,x x 是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根，则有a b x x -=+21， ab x x =21 根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1）()2122122212x x x x x x -+=+ （2）21212111x x x x x x +=+ （3）()2212121))((a x x a x x a x a x ++++=++；（4）│21x x -│=()221x x -=()212214x x x x -+例 已知方程03522=--x x 的两根为21,x x ，不解方程，求下列各式的值。

（1）2221x x +； （2）()221x x -。

知识点六 根据代数式的关系列一元二次方程利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。