n i 1
i 1,2,, n
dim L( i ) n dim V
故 V L( 1 ) L( 2 ) L( n ).
§6.7 子空间的直和
得证.
例2
已知 A P nn ，设
n X X P , AX 0 V2
n AX X P , V1
证明： （1） V1、V2 是 P n 的子空间.
P V1 V2 . （2）当 A A 时，
2
n
§6.7 子空间的直和
证：（1） 0 A0,
0 V1
有
任取 A , A V1 , k P ,
A A A( ) V1 ,
k ( A ) A( k ) V1 .
n
又 V1 V2 是 P n 的子空间， P n V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
再证 P V1 V2 .
n
任取 V1 V2 , 即 V1且 V2 .
由 V1 , 必有 P n , 使A .
由 V2 , 有A 0.
从而 A A A( A ) A 0.
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
§6.7 子空间的直和
充分性.
1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2
于是 (1 1 ) ( 2 2 ) 0
其中 1 1 V1 , 2 2 V2
故 V2 是 P n的子空间.
§6.7 子空间的直和
n P V1 V2 . （2）先证
n P , 有 A ( A ), 任取
其中 A V1 , 又
A( A ) A A A A 0
2
A V2 .
于是有 V1 V2 . P V1 V2 .
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
ห้องสมุดไป่ตู้§6.7 子空间的直和
总之，设 V1 ,V2 为线性空间V的子空间， 则下面四个条件等价: （1）V1 V2 是直和 （2）零向量分解式唯一 （3）V1 V2 0
（4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
令 U L(1 , 2 ), W1 L( 1 ), W2 L( 2 ),
则 R 3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
§6.7 子空间的直和
5、设 1 , 2 ,, r ; 1 ,2 ,, s 分别是线性子空间
V1 ,V2 的一组基，则 V1 V2 是直和 1 , 2 ,, r ,1 ,2 ,, s 线性无关.
是唯一的，和 V1 V2就称为直和（direct sum）， 记作 V1 V2 .
注意
1.分解式 1 2 唯一的，意即
若有 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2
则 1 1 , 2 2 .
§6.7 子空间的直和
二、直和的判定
1、(定理8)和 V1 V2 是直和的充要条件是零向量
分解式唯一， 即若 1 2 0,1 V1 , 2 V2 ，则必有 1 2 0. 证：必要性.
若1 2 0, 1 V1 , 2 V2 V1 V2 是直和,
§6.7 子空间的直和
4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间， 则必存在一个子空间W，使 V U W .称这样的W
为U的一个余子空间（complementary subspace）. 证：取U的一组基 1 , 2 , , m 把它扩充为V的一组基 1 , 2 , , m , m 1 , , n
则有 1 2 V1 V2 0
1 2 0,
即V1 V2 是直和.
§6.7 子空间的直和
“ ”
任取 V1 V2 ,
0 ( ),
V1 ,
V2 .
由于 V1 V2 是直和，零向量分解式唯一，
0.
2
V1 V2 0
n P V1 V2 . 所以
§6.7 子空间的直和
此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义
设 V1 ,V2 为线性空间V的两个子空间，若和 V1 V2 中每个向量 的分解式 1 2 , 1 V1 , 2 V2
由零向量分解式唯一， 有 1 1 0, 2 2 0.
即 1 1 , 2 2
的分解式唯一.
故 V1 V2 是直和.
§6.7 子空间的直和
2、和 V1 V2 是直和 V1 V2 0. 证：“ ” 若 1 2 0, 1 V1 , 2 V2 .
令 W L( m1 , m 2 , , n ),
则 V U W .
§6.7 子空间的直和
注意 余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1)
§6.7 子空间的直和
2.分解式唯一不是在任意两个子空间的和中都成立. 例如，R3的子空间
V1 L( 1 , 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 )
这里， 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和 V1 V2 中，向量的分解式不唯一. 而在和 V1 V3 中，向量 的分解式是唯一的， 所以和 V1 V2 不是直和，V1 V3 是直和.
则它是 V1 V2 的一组基. 从而有
dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和.
§6.7 子空间的直和
“ ”
若 V1 V2 直和，则
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1 , 2 ,, r ,1 ,2 ,, s 的秩为r＋s .
第六章 线性空间
§1 集合· 映射 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数· 基与坐标 §4 基变换与坐标变换
§5 线性子空间
§6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义
二、直和的判定 三、多个子空间的直和
§6.7 子空间的直和
引入
设V1 ,V2 为线性空间V的两个子空间， 由维数公式
所以 1 , 2 ,, r ,1 ,2 ,, s 线性无关.
§6.7 子空间的直和
三、多个子空间的直和
1、定义
V1 ,V2 ,,Vs 都是线性空间V的子空间，若和
Vi V1 V2 Vs i 1
s
中每个向量 的分解式
1 2 s , i Vi , i 1,2,, s
证： 由题设，
V1 L( 1 , 2 , , r ), dimV1 r V2 L(1 ,2 ,,s ), dimV2 s V1 V2 L( 1 , 2 , , r ,1 ,2 ,, s ).
§6.7 子空间的直和
“ ”
若 1 , 2 ,, r ,1 ,2 ,, s 线性无关，
是唯一的，则和
Vi i 1
s
就称为直和，记作
V1 V2 Vs
§6.7 子空间的直和
2、判定
设 V1 ,V2 ,,Vs 都是线性空间V的子空间，则下面
四个条件等价:
（ 1） W Vi 是直和
i 1 s
（2）零向量分解式唯一，即
1 2 s 0, i Vi , 必有 i 0, i 1,2,, s
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形：
1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
§6.7 子空间的直和
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
故 V1 V2 0 .
§6.7 子空间的直和
3、和 V1 V2 是直和 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
证：由维数公式
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有，
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) 0
V1 是 P n 的子空间.
§6.7 子空间的直和
A0 0,
0 V2
有 A 0, A 0,
又对 , V2 , k P ,
从而有 A( ) A A 0 0 0
A( k ) kA k 0 0
V2 , k V2
Vi （ 3）
V j 0 , i 1,2,, s （4）dim W dimV ji
i 1
s
i
§6.7 子空间的直和
例1 每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一维
子空间的直和.
证：设
1 , 2 , , n
是 n 维线性空间V的一组基,
则 V L( 1 , 2 , , n ) L( 1 ) L( 2 ) L( n ) 而 dim L( i ) 1,