热点专题系列(四)REDIANZHUANTI
——圆周运动与平抛运动的综合问题热点概述：圆周运动和平抛运动的综合问题，是高考的热点，也是高考的重点。
此类综合问题主要是水平面内的圆周运动与平抛运动的综合考查和竖直面内圆周运动与平抛运动的综合考查。
[热点透析]
水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
1.此类问题有时是一个物体做水平面上的圆周运动，另一个物体做平抛运动，特定条件下相遇，有时是一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题或计算题考查。
2.解题关键
(1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。
(2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。
(3)速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。
如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O且水平向右为x轴正方向。
在O点正上方距盘面高为h＝5 m处有一个可间断滴水的容器，从t＝0时刻开始，容器沿水平轨道向x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。
已知t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面时再滴下一滴水。
(取g＝10 m/s2)
(1)每一滴水离开容器后经过多长时间滴落到盘面上？
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘的角速度ω应为多大？
(3)当圆盘的角速度为1.5π rad/s时，第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的距离为2 m，求容器的加速度a。
解析(1)离开容器后，每一滴水在竖直方向上做自由落体运动，则每一滴水滴落到盘面上所用时间
t＝2h
g＝1 s。
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线，则圆盘在1 s内转过的弧度为kπ，k为不为零的正整数
由ωt＝kπ
得ω＝kπ g
2h＝kπ rad/s，其中k＝1,2,3，…。
(3)第二滴水与O点的水平距离为
x1＝1
2at
2＋(at)t＝3
2at
2
第三滴水与O点的水平距离为
x2＝1
2a(2t)
2＋(a·2t)t＝4at2
又Δθ＝ωt＝1.5π
即第二滴水和第三滴水与O点连线相互垂直，所以x21＋x22＝(2 m)2
即⎝ ⎛⎭⎪⎫32at 22
＋(4at 2)2＝(2 m)2 得a ＝473
73 m/s 2。
答案 (1)1 s (2)k π rad/s(k ＝1,2,3，…) (3)473
73 m/s 2
竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
1.此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题考查。
2.解题关键
(1)竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。
(2)速度也是联系前后两个过程的关键物理量。
(多选)“快乐向前冲”节目中有这样一种项目，选手需要借助悬挂在
高处的绳飞跃到鸿沟对面的平台上，已知开始时绳与竖直方向夹角为α，绳的悬挂点O 距平台的竖直高度为H ，绳长为L 。
如果质量为m 的选手抓住绳子由静止开始摆动，运动到O 点的正下方时松手，做平抛运动，不考虑空气阻力和绳的质量，下列说法正确的是( )
A ．选手刚摆到最低点时处于超重状态
B ．选手刚摆到最低点时所受绳子的拉力为 (3－2cos α)·mg
C ．若绳与竖直方向夹角仍为α，当L ＝H
2时，落点距起点的水平距离最远 D ．若绳与竖直方向夹角仍为α，当L ＝H
3时，落点距起点的水平距离最远 解析 在最低点时加速度方向竖直向上，处于超重状态，A 正确；在最低点T －mg ＝m v 2
L ，质量为m 的选手由静止开始，运动到O 点正下方过程中机械能守恒，故mgL (1－cos α)＝1
2m v 2 ①，联立解得T ＝(3－2cos α)·mg ，B 正确；从最低点松开绳子后，选手做平抛运动，故在水平方向上做匀速直线运动x ＝v t ②，在竖直方向上做匀加速直线运动(H －L )＝1
2gt 2 ③，联立①②③解得x ＝4L (H －L )(1－cos α)，根据数学知识可知当L ＝(H －L )，即L ＝H
2时x 最大，D 错误，C 正确。
答案 ABC
[热点集训]
1. (多选)如图所示，直径为d 的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。
一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h ，则( )
A ．子弹在圆筒中的水平速度为v 0＝d g 2h
B ．子弹在圆筒中的水平速度为v 0＝2d g 2h
C ．圆筒转动的角速度可能为ω＝π
g 2h
D ．圆筒转动的角速度可能为ω＝3π g 2h
答案 ACD
解析 子弹在圆筒中运动的时间与自由下落h 的时间相同，即t ＝ 2h
g ，
则v 0＝d t ＝d
g
2h ，故A 正确，B 错误；在此时间内圆筒只需转半圈的奇数倍，ωt
＝(2n ＋1)π(n ＝0,1,2，…)，所以ω＝(2n ＋1)π
t ＝(2n ＋1)π
g
2h (n ＝0,1,2，…)，故
C 、
D 正确。
2．(2018·衡水中学第十七次模拟)(多选) 如图所示，半径为r 的光滑水平转盘到水平地面的高度为H ，质量为m 的小物块被一个电子锁定装置锁定在转盘边缘，转盘绕过转盘中心的竖直轴以ω＝kt (k ＞0且是恒量)的角速度转动，从t ＝0开始，在不同的时刻t 将小物块解锁，小物块经过一段时间后落到地面上，假设在t 时刻解锁的物块落到地面上时重力的瞬时功率为P ，落地点到转盘中心的水平距离为d ，则下图中P -t 图象、d 2 -t 2图象分别正确的是( )
答案 AC
解析 在时刻t 将小物块解锁后物块做平抛运动，初速度为：v 0＝rω＝rkt ，小物块落地时竖直分速度为：v y ＝2gH ，小物块落到地面上时重力的瞬时功率为：P ＝mg v y ＝mg 2gH ，可知P 与t 无关，故A 正确，B 错误；小物块做平抛运动的
时间为：t ′＝
2H
g ，水平位移大小为：x ＝v 0t ′＝rkt 2H
g ，根据几何知识可得
落地点到转盘中心的水平距离的二次方为：d 2＝r 2＋x 2＝r 2＋⎝ ⎛
⎭
⎪⎫rkt
2H g 2＝r 2
＋2Hr 2k 2g t 2
，故C 正确，D 错误。
3. 如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。
现测得转台半径R ＝0.5 m ，离水平地面的高度H ＝0.8 m ，物块平抛落地过程水平位移的大小s ＝0.4 m 。
设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g ＝10 m/s 2。
求：
(1)物块做平抛运动的初速度大小v 0； (2)物块与转台间的动摩擦因数μ。
答案 (1)1 m/s (2)0.2 解析 (1)物块做平抛运动， 在竖直方向上有H ＝1
2gt 2① 在水平方向上有s ＝v 0t ② 由①②式解得v 0＝s
g
2H ＝1 m/s 。
③
(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有 f m ＝m v 20
R ④ f m ＝μN ＝μmg ⑤
由③④⑤式解得μ＝v 20
gR ＝0.2。
4．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。
当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地，如图所示，已知握绳的手离地面高度为
d ，手与球之间的绳长为3
4d ，重力加速度为g ，忽略手的运动半径和空气阻力。
(1)求绳断时球的速度大小v 1和球落地时的速度大小v 2； (2)求绳能承受的最大拉力；
(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？
答案 (1)2gd
10gd 2 (2)113mg (3)d 2 23
3d
解析 (1)设绳断后球飞行时间为t ，由平抛运动规律得 竖直方向⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－34d ＝12gt 2
水平方向d ＝v 1t 解得v 1＝2gd
在竖直方向上有v 2⊥＝2g ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－34d ， 则v 2＝v 2
1＋v 2⊥
解得v 2＝
10gd 2。
(2)设绳能承受的最大拉力大小为F T ，这也是球受到绳的最大拉力大小，球做圆周运动的半径为R ＝34d
对小球在最低点由牛顿第二定律得
F T －mg ＝m v 21
R
解得F T ＝11
3mg 。
(3)设绳长为l ，绳断时球的速度大小为v 3，绳承受的最大拉力不变，由牛顿第二定律得
F T －mg ＝m v 23
l
解得v 3＝2
36gl
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d －l ， 设水平位移为x ，时间为t 1，则 竖直方向d －l ＝1
2gt 21 水平方向x ＝v 3t 1 解得x ＝4
l (d －l )
3
当l ＝d －l 时，即l ＝d 2时，x 有最大值，x max ＝23
3d 。