人教A版《平面向量的应用》PPT1
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◆用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元 素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问 题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. ◆用向量法解决平面几何问题的两种方法 （1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角）， 将题中涉及的向量用基底表示出来，利用向量的运算法则、运算律或 性质计算. （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问 题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
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人教A版《（2平01面9）向高量中的数应学用》必P修PT第1二册 教学课 件：第 六章 6.4 平面向量的应用 (2份打包)
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训练题
如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ 3 ，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，
则ED＝
.
21 解析：以 A 为坐标原点，AD，AB 所在直线分别为 x 轴、y 轴
2
建立平面直角坐标系，则 A（0，0），B（0， 3 ），C（3， 3 ），D（3，
0）， AC ＝（3， 3 ）.设 AE ＝ AC ，则 E 的坐标为（3λ， 3 λ），故BE ＝
（3λ， 3 λ- 3 ）.因为 BE⊥AC，所以BE ·AC ＝0，即 9λ+3λ-3＝0，解得λ
＝
1 4
，所以E
3 4
,
3 4
.故
ED
＝
9 4
,
3 4
，|
ED
|＝
21 ，即 ED＝
2
21 .
3
3 2
.
（2）证明：∵
OC
＝
3 2
,
3
3 2
，
AB
＝
1 2
,
3 2
，
∴ OC ＝3AB ，∴ OC ∥ AB .
又易知OA与BC不平行，|OA |＝| BC |＝2，
∴ 四边形OABC为等腰梯形.
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3.平面几何中的长度问题 例3 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求
常考题型
一 向量在平面几何中的应用 1.平面几何中的垂直问题
例1 如图，若点D是△ABC内一点，并且满足AB2+CD2＝AC2+BD2，求证： AD⊥BC.
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【证明】 不妨设 AB ＝c， AC ＝b，AD ＝m，则 BD ＝ AD - AB ＝m-c，CD ＝ AD - AC ＝m-b. 因为AB2+CD2＝AC2+BD2， 所以c2+（m-b）2＝b2+（m-c）2， 即c2+m2-2m·b+b2＝b2+m2-2m·c+c2， 所以2m·（c-b）＝0，即2AD ·（ AB - AC ）＝0， 所以 AD ·CB ＝0，所以AD⊥BC.
3
6
2
∴ FO ＝OE .
又O为 FO 和OE 的公共点，故点E，O，F在同一直线上.
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◆用向量法证明平面几何中AB∥CD的方法 方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示 AB 和CD ；③寻找实数 λ，使 AB ＝¦ËCD ，即 AB ∥CD ；④给出几何结论AB∥CD. 方法二：先求 AB ，CD 的坐标， AB ＝（x1，y1），CD ＝（x2，y2）.利用 向量共线的坐标关系x1y2-x2y1＝0得到 AB ∥CD ，再给出几何结论AB∥ CD. 以上两种方法，在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才能 由 AB ∥ CD 得到AB∥CD.
对角线AC的长.
【解】 设 AD ＝a， AB ＝b，则 BD ＝a-b， AC ＝a+b. 而| BD |＝|a-b|＝ ＝ a2 2a b+b2 1+4 2a b ＝ 5 2a b ＝2， ∴ 5-2a·b＝4，∴ a·b＝ 1 .
2
又| AC |2＝|a+b|2＝a2+2a·b+b2＝1+4+2a·b＝6， ∴ | AC |＝ 6 ，即AC＝ 6 .
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（1）解：连接OB，设B（xB，yB），
则xB＝|OA
|+|
AB
|·cos（π-∠OAB）＝
5 2
，
yB＝| AB |·sin（π-∠OAB）＝
3 2
，
∴
OC
＝
OB
+
BC
＝
5 2
,
3 2
+（-1，
3
）＝
3 2
,
3
3 2
，
∴
B
5 2
,
3 2
，
C
3 2
,
质量为 8 kg 的木块受力 F 的作用在动摩擦因数为μ＝0.02 的水平面
上运动了 20 m.问力 F 和摩擦力 f 所做的功分别为多少？（g＝10
m/s2）
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解：如图所示，设木块的位移为s，则
WF＝F·s＝|F||s|cos
30°＝50×20×
6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例
学习目标
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实 际问题. 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
重点：用向量方法解决实际问题的基本方法，向量法解决几 何问题的“三步曲”. 难点：将实际问题转化为向量问题.
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训练题
1. 已知一物体在共点力F1＝（2，2），F2＝（3，1）的作用下产生位
移
s＝
1，3
22
，则共点力
对
物体所
做的功为
（C
）
A.4 J B.3 J C.7 J D.2 J
2. 已知力 F（斜向上）与水平方向的夹角为 30°，大小为 50 N，一个
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【解】 如图，以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正方向建 立平面直角坐标系，则F1＝（1， 3 ），F2＝（2 3 ，2），F3＝（-3， 3 3 ）， ∴ F＝F1+F2+F3＝（2 3 -2，2+4 3 ）.又位移s＝（4 2 ，4 2 ）， ∴ 合力F所做的功W＝F·s＝（2 3 -2）×4 2 +（2+4 3 ）×4 2 ＝4 2 ×6 3 ＝ 24 6 （J）.∴ 合力F所做的功为24 6 J.
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2.平面几何中的平行（或共线）问题
例2
平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且
CE ED
＝
AF FB
＝1
2
.
求证：点E，O，F在同一直线上.
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【证明】 设 AB ＝m， AD ＝n，
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训练题
1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，
PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
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证明：（方法一）设正方形 ABCD的边长为 1，AE＝a（0<a<1）， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1-a，AP＝ 2 a， ∴ DP · EF ＝（ DA + AP ）·（ EP +PF ） ＝ DA · EP + DA · PF + AP ·EP + AP · PF ＝1×a×cos 180°+1×（1-a）×cos 90°+ 2 a×a× cos 45°+ 2 a×（1-a）×cos 45°＝-a+a2+a（1-a）＝0. ∴ DP ⊥ EF ，即DP⊥EF.
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2. 如图，O是△ABC的外心，E为△ABC内一点，满足OE ＝OA +
OB +OC ，求证：AE⊥BC.
证明：因为 BC ＝OC - OB ，AE ＝OE -OA ＝（OA +OB +OC ）-OA ＝OB +OC ， 所以 AE · BC ＝（OB +OC ）·（OC - OB ）＝|OC |2-|OB |2. 因为O为△ABC的外心，所以|OC |＝|OB |，所以 AE · BC ＝0，即AE⊥ BC.
3 ＝500
2
3 （J）.
将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为
|F1|＝|F|sin
30°＝50×
1 2
＝25（N），
所以摩擦力f的大小为| f |＝|μ（G-F1）|＝（80-25）×0.02＝1.1（N）， 因此Wf＝f·s＝| f ||s|cos 180°＝1.1×20×（-1）＝-22（J）. 即F和f所做的功分别为500 3 J和-22 J.