B,B
C,则 A
C；
(4)若集合 A 是 n 个元素的集合，则集合 A 有 2n 个子集（其中 2n－1 个真子集） ； 注：子集与真子集的区别与联系：集合 A 的真子集一定是其子集，而集 合 A 的子集不一定是其真子集；若集合 A 有 n 个元素，则其子集个数为 2n， 真子集个数为 2n-1,非空真子集个数为 2n-2.
3.集合关系与特征性质间的关系。 一般地,设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},如果 A⊆B,则 x∈A⇒x∈B, 于是 x 具有性质 p(x)⇒x 具有性质 q(x)， 即 p(x)⇒q(x)则 A 一定是 B 的子集。 如果 p(x)⇔q(x)则 A=B；反之如果 A=B 则 p(x)⇔q(x)。
高中数学必修一知识点总结
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第一章
一、集合的概念：
集合
我们看到的、听到的、闻到的、触摸到、想到的各种各样的事物或一些 抽象的符号，都可以看作对象。 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是 由这些对象的全体构成的集合（或集） 。构成集合的每个对象叫做这个集合 的元素（或成员） 。 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作:Φ 通常用大写字母 A,B,C,…表示集合；用小写字母 a,b,c，…表示元素。 (1)集合中元素与集合的关系：属于∈；不属于∉。 若 a 是集合 A 的元素，记作 a∈A；若 b 不是集合 A 的元素，记作 b∉A. (2)集合中元素的三个特性：确定性、互异性与无序性； 确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的 元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性： 一个给定集合中的元素， 指属于这个集合的互不相同的个体 （对 象） ，因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列 顺序无关； (3)根据含有元素个数可将集合分为有限集和无限集 (4)常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集） ，记作 N； 整数集，记作 Z； 实数集，记作 R
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如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那 么集合 A 叫做集合 B 的真子集，记作：A B” ，或“B 真包含 A” 性质：(1)任意一个集合 A 都是它本身的子集，即 A⊆A； (2)空集是任意一个集合的子集，即Ф⊆A； (3)若 A⊆B，B⊆C,则 A⊆C；若 A B或B A 读作： “A 真包含于
2.集合相等： 一般地,集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素,反过来,集合 B 的每一个 元素也都是集合 A 的元素,那么我们就说集合 A 等于集合 B,记作：A=B 注解：构成两个集合的元素完全一样。若 A⊆B 且 B⊇A，则称 A 等于 B，记 作 A=B；若 A⊆B 且 A≠B，则称 A 是 B 的真子集，记作 A B；
l∩⊙O={A,B};
A∩B 可用图中阴影部分表示
意义：A∩B={x|x∈A 且 x∈B} 运算性质： ①A∩B＝B∩A； ②A∩A＝A； ③A∩Φ＝Φ ；
④如果 A⊆B，则 A∩B＝A；
⑤A∩B⊆A，A∩B⊆B；
Байду номын сангаас
2.并集 一般地，对于两个给定的集合 A,B 由两个集合所有的元素构成的集合， 叫做 A 与 B 的并集。记作 A∪B。读作“A 并 B” 。
意义：A∪B={x|x∈A 或 x∈B} 运算性质: ①A∪B＝B∪A； ④A∪B＝B⇔A⊆B.
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②A∪A＝A；
③A∪Φ＝A；
⑤A∪B⊇A，A∪B⊇B；
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3.补集： 在研究集合与集合间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合 的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用 U 表示。 如果给定集合 A 是全集 U 的一个子集，由 U 中不属于 A 的所有元素构 成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，记作：CUA
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正整数集，记作 N*或 N+； 有理数集，记作 Q；
二、集合的表示方法： 表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 1.列举法：把集合中的元素都列举出来，写在大括号内； 适用：①有限集，元素不太多；②元素较多，但排列又呈现一定规律。 2.描述法： 一般地，在集合 I 中，属于集合 A 的任意一个元素 x 都具有性质 p(x), 而不属于集合 A 的元素都不具有性质 p(x),则性质 p(x)叫做集合 A 的一个特 征性质。 集合 A 可以用它的特征性质 p(x)描述为{x∈I|p(x)},这种表示集合的方法 叫做特征性质描述法，简称描述法。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集 合元素的一般符号及取值(或 变化)范围， 再画一条竖线， 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示 法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 3.图示法：一般用韦恩图表示。
三、集合间的关系 1.包含关系： 一般地， 集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素， 那么集合 A 叫做集 合 B 的子集，记作：A⊆B 或 B⊇A,读作： “A 包含于 B”或“B 包含 A” 。 如果集合 P 中存在着不是集合 Q 的元素， 那么集合 P 不包含于 Q， 或Q 不包含 P，分别记作: 规定：空集是任意一个集合的子集。
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四、集合的基本运算 集合的基本运算包括交集、 并集和补集.在解题时要注意 Venn 图及补集思 想的应用。 1.交集 一般地，对于两个给定的集合 A,B 由属于 A 又属于 B 的所有元素构成 的集合，叫做 A 与 B 的交集。记作 A∩B，读作“A 交 B”