n阶行列式的计算方法姓名：学号：学院：专业：指导老师：完成时间：n阶行列式的计算方法【摘要】本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了几种计算行列式的常用方法。

例如：利用行列式定义直接计算法，根据行列式性质化为三角形列式法，按一行（列）展开以及利用已知公式法，数学归纳法与递推法，加边法，利用多项式性质法，拉普拉斯定理的应用。

但这几种方法之间不是相互独立，而是相互联系的.一个行列式可能有几种解法，或者在同一个行列式的计算中将同时用到几种方法以简便计算。

这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化。

【关键词】 n阶行列式行列式的性质数学归纳法递推法加边法Some methods of an n-order determinant calculation【Abstract】In this paper, considering the characteristics ofdeterminant, it provides several commonly used methods to calculate the determinant by applying the properties of the determinant . For example ：The direct method of calculation by using the determinant definition . The method of changing the determinant into a triangular determinant According to the properties of the determinant. The method of expanding the determinant by line (column) .using the known formula , the mathematical induction, recursive Method , adding the edge method, using the properties of polynomial , the application of Laplace theorem. These methods are not independent of each other ,but interrelated. There is probably that a determinant has several solutions, or in the calculation of the same determinant there will be used several methods to calculate simply. This requires us to grasp several solution of the determinant，and to find the easiest ways after, so simplify complex issues .【Key words】n-order determinant the property of the determinant the mathematical induction adding the edge method目录1引言 (1)2 计算行列式的基础方法 (2)2.1利用行列式的定义来计算....................... 错误!未定义书签。

2.2化为三角形法 (3)2.3把各行(或各列)统统加到某一行(或列)........... 错误!未定义书签。

2.4逐行(列)处理 (5)3加边法 (6)4 展开 (8)5利用已知行列式公式计算法 (10)(1)三角形公式 (10)(2)德蒙公式 (10)(3)爪型行列式公式 (11)(4)ab行列式公式 (13)6 数学归纳法 (13)7递推法 (16)8 拆项法 (18)9 利用多项式的性质 (21)10 利用矩阵分块理论 (21)1 乘法公式的应用 (22)2 定理2......................................... 错误!未定义书签。

3 定理3 (23)11 小结 (25)参考文献 (26)致 (26)1引言行列式是研究线性代数的一个重要的工具，在线性方程组、矩阵、二次型中要用到行列式，在数学的其他分支里也常常要用到行列式。

n 阶行列式的计算是研究生考试的一个重点，对于很多学生来说，n 阶行列式的计算又是一个难点。

很多人不能非常熟练的掌握，而且教材也没有题及到。

因此行列的计算问题显得尤其的重要。

引例：对于二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a ，若22211211a a a a 0≠，则222112112221211a a a a a b a b x =，222112112211112a a a a b a b a x = 对于低元的方程组，对应的低阶行列式比较好计算。

但是我们为了解n 元方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********那就不得不要面临计算?212222111211=nnn n nn a a a a a a a a a对于这种n 阶的行列式计算方法，除了定义法，我们还能通过那些其他的方法来计算呢？2 计算行列式的基础方法计算行列式的基础方法主要是指，利用行列式的定义和基本性质来计算行列式的方法。

行列式的定义在下面2.1节会具体的介绍。

下面本文现介绍下几个行列式的基本性质。

性质1 （对称性）行列式的转置行列式与原行列式相等。

【评注】从这个性质可以知道如果行列式对行而言具有的性质，则对列而言也具有相同的性质。

反过来也是如此，因此下面的几个性质只对列来叙述。

性质2 （多重线性）行列式的多重线性是指下面两条 （1）111k kn k n k n αβαααβαααα+=+（2）11kn kn a a αααααα=性质3 （交错性） 对换行列的任意两列所得行列式与原行列式绝对值相等，符号相反。

性质4 如果行列式的一列是另一列的a 倍，则行列式为零。

特别是，如果行列式有一列为零，或者有不同的两列相同，则行列式为零。

性质5（初等变换性质） 通常说的初等变换有三种：一列乘以非零数；对换不同的两列；这两中前面都提到了 ，下面一种是：一列乘以非零数加到另一列。

11,,,,k k l n k l n a ααααααααα+=2.1利用行列式的定义来计算[1]一般来说利用行列式的定义求解n 阶行列值很繁琐，但是对一些特殊的有规律的行列式还是很有用的，往往能够收到意想不到的效果。

对于这种行列式一般有一些很好的特征，例如: (1) 只有对角线的元素不为零，或者行列式为上、下（反上、下）三角形行列式；(2) 1212n j j nj a a a 中必有一个元素等于零,或者有很多项为零; (3)i j ij ij a c b -=等等。

1、定义（1）∑-=)(21)(212222111211212121)1(n n n j j j nj j j j j j nnn n nn a a a a a a a a a a a aτ其中12()n j j j τ为排列12nj j j 的逆序数。

例1：计算n 行列式n D =...000...10.........02 (00)10...00nn -解：根据行列式的定义，行列式展开后每一项都有n 个元素相乘，而且这n 个元素要位于n D 中不同的行与不同的列。

因此n D 中只有一个1·2·3…（n-1）·n!这一项行标为自然顺序，列标构成的排列为n ·(n-1)…2·1,其反序数为(1)2n n -，故(1)2(1)!n n n D n -=-例2：计算行列式 n D =i j ij a b -解：根据行列式的定义，行列式的展开式等于12111212()12()(1)nnn k k n n i jj j j j j nj j j j a a a b τ==-∑∑-∑=121212()12()(1)n n n j j j j j nj j j j a a a τ-∑= ij a2.2化为三角形法即通过行列式的行变换和列变换，使得行列式变成如下形式：位于主对角线一侧的所有元素全等于0，这样得到的行列式等于主对角线元素的乘积，对于次 对角线的情形，行列式的值等于(1)2(1)n n --与次对角线上所有元素的乘积。

化三角法一般只能针对一些有规律的、能通过简单初等行列变换变成三角形行列式，或变成爪型行列式、平行线形行列式、主次对角行列式等。

其它的一些行列式就不是很适用。

例1：计算n 阶行列式n D =123()i na x x xx a x xxx a x x a xxxa ≠ 解：从第2行起，每行减去第一行n D =11213100000n a x x x x a a x x a a xx a ax------=（1a x -）（2a x -）（n a x -）1111123110110101n a a a a a xa x a xa x -------从第二列开始，每一列都加到第一列，化成上三角形行列式n D =（1a x -）（2a x -）（n a x -）11112231110100100001n n a a a a x a xa x a x a x a x +++------=（1a x -）（2a x -）（n a x -）（12111n a x a xa x+++---）2.3把各行(或各列)统统加到某一行(或列) [2]把各行(或各列)统统加到某一行(或列),再通过行列式的性质化简得到结果。

能适用这种方法的行列式一般有一个很好的特征：各行（列）和相等，或成比例。

这样相加之后就能提取公因式了。

例1：计算n 阶行列式n D =a b b b b b a b b b bb a b b bb b a b bbbba解：把从第2列以后每一列都加到第一列n D =(1)(1)(1)(1)(1)a n b b b b ba nb a b b b a n b b a b b a n bb b a b a n bbbba+-+-+-+-+-=[(1)a n b +-]11111b b b b a b b b b a b b b b a b bbba把从第2行以后每一行都减去第一行n D = [(1)a n b +-]10000000000000b b bba b a b a b ba b----=[(1)a n b +-]1()n a b --2.4逐行(列)处理这是指逐行或逐列以适当的倍数相加或相减。