初中数学：圆内接四边形练习
A 练就好基础基础达标
1．在圆内接四边形ABCD中,若∠A＝45°,∠B＝67.5°,则∠D等于( C)
A．67.5°B．135°C．112.5°D．45°
2．四边形ABCD内接于圆,∠A,∠B,∠C,∠D的度数比可能是( C)
A．1∶2∶3∶4 B．7∶5∶10∶8
C．13∶1∶5∶17 D．1∶3∶2∶4
3．如图所示,四边形ABCD内接于⊙O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小为( C)
A．45°B．50°C．60°D．75°
3题图
4题图
4．如图所示,在圆O的内接四边形ABCD中,BC＝DC,∠BOC＝130°,则∠BAD的度数是( B)
A．120° B．130° C．140° D．150°
5．如图所示,⊙O的半径为1,AB是⊙O的一条弦,且AB＝3,则弦AB所对的圆周角的度数为( D)
A．30°B．60°
C．30°或150°D．60°或120°
第5题图
6题图
6．如图所示,在⊙O 的内接四边形ABCD 中,点E 在DC 的延长线上．若∠A＝50°,则∠BCE ＝__50°__．
7．如图所示,在⊙O 的内接四边形ABCD 中,∠A ＝115°,则∠BOD 等于__130°__.
7题图
8题图
8．如图所示,AB 是⊙O 的直径,C,D 是AB ︵
上两点,∠ADC ＝120°,则∠BAC 等于__30°__．
第9题图
9．如图所示,四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形,并且AD 是⊙O 的直径,C 是BD ︵
的中点,AB 和DC 的延长线交于⊙O 外一点E.求证：BC ＝EC.
第9题答图
证明：如图,连结AC,∵AD 是⊙O 的直径, ∴AC ⊥DE,∵C 是BD ︵
的中点, ∴∠ADC ＝∠AED.
∵∠EBC＝∠D,
∴∠EBC＝∠E,
∴BC＝EC.
第10题图
10．如图所示,⊙C过原点,且与两坐标轴分别交于点A,B,点A的坐标为(0,3),M是劣弧OB 上一点,∠BMO＝120°.求⊙C的半径长．
解：∵四边形ABMO是⊙C的内接四边形,∠BMO＝120°,
∴∠BAO＝60°.
∵AB是⊙C的直径,
∴∠AOB＝90°,
∴∠ABO＝90°－∠BAO＝90°－60°＝30°.
∵点A的坐标为(0,3),
∴OA＝3,∴AB＝2OA＝6,∴⊙C的半径长为3.
B 更上一层楼能力提升
11．如图所示,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上．若∠AOD＝30°,则∠BCD的度数是( C) A．75°B．95°C．105° D．115°
11题图
12题图
12．如图所示,△ABC内接于⊙O,∠OBC＝40°,则∠A的度数为( D)
A ．80°
B ．100°
C ．110°
D ．130°
13．如图所示,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,点D 是AC ︵的中点,点E 是BC ︵
上的一点,若∠CED＝40°,则∠ADC＝__100°__．
13题图
14题图
14．如图所示,将⊙O 沿弦AB 折叠,点C 在AmB ︵上,点D 在AB ︵
上,若∠ACB＝70°,则∠ADB＝__110°__．
第15题图
15．如图所示,四边形ABCD 内接于⊙O ,∠BAD ＝90°,BC ︵＝CD ︵
,过点C 作CE⊥AD ,垂足为E,若AE ＝3,DE ＝ 3.求∠ABC 的度数．
解：如图,作BF⊥CE 于点F, ∵四边形ABCD 内接于⊙O , ∴∠BAD ＋∠BCD＝180°, ∵∠BAD ＝90°, ∴∠BCD ＝90°,
又∵∠BCF＋∠DCE＝90°, ∠D ＋∠DCE＝90°, ∴∠BCF ＝∠D. 又∵BC ︵＝CD ︵
,∴BC ＝CD,
∴Rt △BCF ≌Rt △CDE. ∴BF ＝CE.
第15题答图
又∵∠BFE＝∠AEF＝∠A＝90°, ∴四边形ABFE 是矩形． ∴BF ＝AE. ∴AE ＝CE ＝3, 在Rt △CDE 中,
∵DE ＝3,∴CD ＝23,∴DE ＝1
2CD,
∴∠DCE＝30°,∠D ＝60°. ∵∠ABC ＋∠D＝180°, ∴∠ABC ＝120°.
C 开拓新思路 拓展创新
16．如图所示,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,AB ＝AC,D 是劣弧AC 上的点(不与点A,C 重合),
第16题图
延长BD 至E.
(1)求证：AD 的延长线DF 平分∠CDE.
(2)若∠BAC＝30°,在△ABC 中BC 边上的高为2＋3,求⊙O 的面积． 解：(1)证明：∵A ,B,C,D 四点共圆． ∴∠CDF ＝∠ABC.
由AB ︵
得∠ACB＝∠ADB＝∠EDF ,
∵AB ＝AC, ∴∠ABC ＝∠ACB , ∴∠CDF ＝∠EDF ,
即AD 的延长线DF 平分∠CDE. (2)连结AO 并延长交BC 于点H, 连结OB,OC. ∵AB ＝AC,∴AB ︵＝AC ︵
, ∴AH ⊥BC.
∵∠BAC ＝30°,∴∠BOC ＝60°. ∵OB ＝OC,∴△OBC 为等边三角形． 设OB ＝r,则BH ＝12r,OH ＝3
2r,
∴AH ＝r ＋3
2r ＝2＋3,
∴r ＝2,∴⊙O 的面积为4π.
第17题图
17．已知四边形ABCD 内接于⊙O ,∠ADC ＝90°,P 为CD ︵
上一动点(不与点C,D 重合)． (1)若∠BPC＝30°,BC ＝3,求⊙O 的半径； (2)若∠A＝90°,AD ︵＝AB ︵
,求证：PB －PD ＝2PC.
第17题答图
解：(1)连结AC,
∵∠D ＝90°,∴AC 是⊙O 的直径, ∵∠BAC ＝∠P＝30°,∴AC ＝2BC ＝6, ∴⊙O 的半径为3.
(2)证明：∵∠A＝90°,∴∠C ＝90°, ∵AC 为⊙O 直径,∴∠ADC ＝∠ABC＝90°, ∴四边形ABCD 为矩形． ∵AD ︵＝AB ︵
,∴AB ＝AD, ∴矩形ABCD 为正方形, 在BP 上截取BE ＝DP, ∴△BCE ≌△DPC,∴PC ＝CE, ∴△CPE 为等腰直角三角形, ∴PE ＝2PC,∴PB ＝PD ＋2PC, 即PB －PD ＝2PC.。