+ *16 416 将上述带（*）号的各项相
----------- 加，得商为16+8+4=28
28
其余数为17.
（2）分数的记法和计算
• 单位分数的广泛使用成为埃及数学的一个 重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分
数都表示为一些单位分数（分子为1的分数） 的和的形式（2/3例外）.
• 埃及人表示分数的符号是相当复杂的. 用
由2/n数表查得
(7+1/2+1/4+1/8)×2/63=1/4 2/63=1/42+1/126，
于是
100÷(7+1/2+1/4+1/8)
= 8+4+2/3+2/63 = 12+2/3+1/42+1/126.
• 埃及人为什么对单位分数情有独钟，原因尚不 清楚.
• 这种运算方法冗长繁复妨碍了数学的进一步发 展，这也是古埃及算术和代数不能发展到更高 水平的原因之一.
最后得：
,20,29
1 6
,38
1 3
• 例4、几何级数（等比级数）.兰德纸草书第79题： 是在数字 7，49，343，2401，16807 旁边各注有图 人，猫，鼠，大麦，量器等字样，而且给出总数为 19607.
• 问这个题目产生的是什么数列？总数是多少？---有 答案无解法.
现今保存下来的有两卷纸草记录了古埃及的数学资 料，它们都产生于约BC1700年左右. 它们的作者可 能是政治机关或教堂的书记（秘书），它们的内容 就是题集和解答.
古埃及纸草书卷
• ①莫斯科纸草(Moscow Papyrus) （现存于莫斯科美术博物馆，一说现
存于莫斯科普希金精细艺术博物馆）— —25个数学问题（俄国贵族戈兰尼采夫 于1893年在埃及发现），长约525cm， 宽约8cm，成书于约BC1890年.
（1）、法老胡夫的金字塔(Pyramid)：
兴建于齐阿斯王朝（BC2900年左右），高146.5米， 塔基宽 233米，底边长度的误差为1.6厘米，正方程 度与水平程度的平均误差≤1/10000，塔高与塔基之 比非常近似于圆的周长与其半径之比.用以砌塔的巨 石达230万块，重量从2.5吨到50吨不等.如把这些石 头凿成平均一立方英尺的小块并排列成行，其长度 相当于地球周长的2/3. 10万人用了20年的时间才建 成的.
1、记数法——以十为基数的象形文字
介于两符号之间的各数由这些符号的组合表示. 但是， 他们的符号缺乏位置上的意义，这使得这种记数法是 很麻烦的，为了表示大数，必须用相应多个符号.
特点：①、最早采用10进制的国家之一； ②、但没有采用位置计数法.
2、书写材料－纸草 papyrus
是英文 “paper” 的语源.
• 注意：加倍程序和单位分数概念
• 兰德纸草书第70题：
求100÷(7+1/2+1/4+1/8)的商.
答：12+2/3+1/42+1/126.
解：将除数逐渐加倍：
15+1/2+1/4→31+1/2→63，是除数的8倍; 另外，除数与8+4+2/3相乘得 99 3 ，
4 比被除数100小1/4.
调整：因除数的8倍是63，故
即形如 x ax b 或 x ax bx c
某些二次方程
④、等差级数和等比级数的概念及其求和
• 例1、兰德纸草书中有一方程问题：有一数量，它 的2/3加它的1/2，加它的1/7，再加全部共为33.
用现代的记号是：
x 2 x 1 x 1 x 33 x 14 28
327
97
只不过分数部分写为
2/99=1/66+1/198 2/101=1/101+1/202+1/303+1/606
• 利用此表可进行分数计算 • 例如，要用5÷21，可写成单位分数之和 • 运算程序如下：
5/21=1/21+2/21+2/21 =1/21+1/14+1/42+1/14+1/42 =1/21+2/14+2/42 =1/21+1/7+1/21 =1/7+2/21 =1/7+1/14+1/42
• 在上例中，用数7作为未知数x的实验值，于是有，左
边= x 1/ 7 x 7 1/ 7 7 8
而应得的结果是19，这两个结果之比为 19/8=2+1/4+1/8，将7乘以（2+1/4+1/18）即得正确的 “堆”值为16+1/2+1/8.
• 例3、算术级数问题：5个人分100个面包， 要求每个人所得的份数构成一个算术级数， 并且前三个所得总数的1/7等于后二人所得 之和---下伪法（regula falsi）
（读作ro）表示分数线，将
或
点的记号放在数的上方用来表示分数.
• 例如：
• 某些特殊的分数记号，如
1
2
1
2
3
4
兰德纸草书中数表：将所有分子为2而分母从5 -101的 奇数表示为单位分数之和.
2/5=1/3+1/15 2/7=1/4+1/28 2/9=1/6+1/18
...... 2/97=1/56+1/679+1/776
2
2
Rhind 50:假设一直径为9的圆形土地，其面积=边
长为8的正方形土地.
由此可知，圆面积为
S
(8 9
d )2，其中
d 为直径，相
当于取π=3.1605，误差为0.6%.
④、体积的计算
正四棱台的体积－最高成就.
V 1 h(a2 ab b2 ) 直棱柱(圆柱)的3体积等于底面积乘以高.
⑤、半球表面积的计算公式.
28/97=1/4+1/97+1/56+1/679+1/776+1/194+1/388.
古埃及人把未知数称为“堆”（aha)
• 例2、兰德纸草书中的第24题：已知“堆”与七分之 一“堆”相加为19，求“堆”的值.
“假位法”（method of false position）—先假设一个 特殊的数作为“堆”的值（多半是假值），将其代入 等式左边去运算，然后比较得数与应得的结果，再通 过比例的方法算出正确的答案.
⑥、知道相似三角形.
⑦、在求圆面积以及把圆分为若干相等部分的问题 上，已经有了正确的知识.
• 结束语： • 静止的特性---产生于约BC1700年左右的兰德纸草书
和莫斯科纸草书中的数学，在数千年漫长的岁月中 很少变化.
• 加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块，使古 埃及人的计算显得笨重繁复.
• 古埃及人的面积、体积算法对精确的公式和近似关 系往往不作明确的区分，这又使他们的实用几何带 上了粗糙的色彩.
• “出门望九堤，堤有九木，木有九巢，巢有九鸟，鸟 有九毛，毛有九色.”
5、古埃及的几何： 在兰德纸草书和莫斯科纸草书中确实包含有许
多几何性质的问题，内容大都与土地面积和谷堆 体积的计算有关.
由此可知，古埃及的几何很发达. 几何问题多 是讲度量法，涉及到田地的面积，谷仓的容积和 有关金字塔的计算等. 著名的“金字塔之迷”就是 其中的代表.
• 注意：希腊人认为他们的数学是从埃及来的，然而 埃及数学只限于非常实用者，古埃及人没有命题证 明的思想，他们的数学完全是实用数学，完全找不 到推理的数学痕迹，而古希腊却有.
3、古埃及的算术知识：
（1） 古埃及人的计算具有迭加的特点： • 任何自然数都可由2的各次幂的和组成. • 例如： 计算 27×31
（2）、阿蒙神庙(Oman Tamples)： 阿蒙——埃及的太阳神.王殿总面积5000平方 米，有134根圆柱，中间最高的12根高达21米.
①、正方形,矩形,三角形,梯形面积公式.其他几何图 形近似计算. 如：任意四边形的面积
②、已经知道毕达哥拉斯定理的特殊情况.
③、圆的面积很好的近似. a b c d
• 公元前四世纪希腊人征服埃及以后，这一古老的数 学文化完全被蒸蒸日上的希腊数学所代替.
古埃及相关资料： 古埃及象形文字
古埃及彩色象形文字
古 埃 及 象 形 文 字 字 母 一
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兰 德 草 书 中 问 题 的 解
79
作业 （1） 金字塔之谜 （2）普林斯顿第322号泥版 （3）古埃及的几何知识 注意：本作业为第四周作业，三选一，
• 但是这种方法对于解决食物分配和土地分配问 题却十分方便.
• 例如，平均分食物的7个面包8个人分.
7/8 = 1/2+1/4+1/8
（3）、完成了基本的算术四则运算 （4）、已经有了求近似平方根的方法 4、古埃及的代数： ①、有渐进的代数，但叙述方式是文词（即文词代
数阶段），很少引用符号； ②、比例的概念也已有萌芽；三角函数观念的萌芽 ③、一元一次方程求解
• 数学产生于农业文明： 历法，测量土地，财富计算，产品交 换，观测天体，建造皇宫等
一、古埃及的数学——尼罗河
• BC4000年的古埃及文明，已有象形文字 （Hieroglyphic，意为“圣刻” ）； • BC3000年，埃及成为统一的奴隶制国家. • 英国牛津博物馆(Oxford Museum in Britain)的古埃及第一王朝（约BC3400年 以前）一个王室的权标上象形文字.
古埃及的数学
第一章 数学的起源和早期发展
• 数学的发源地： • 古代非洲的尼罗河(Nile)——埃及文明； • 西亚的底格里斯河(Tigris)和幼发拉底河
(Euphrates)——巴比伦文明； • 中南亚的印度河(India)和恒河(Ganges)——印