2．3离散型随机变量的均值与方差2．3.1离散型随机变量的均值1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)2．掌握两点分布、二项分布的均值．(重点)3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理1离散型随机变量的均值阅读教材P60～P61例1，完成下列问题．1．定义：若离散型随机变量X的分布列为：则称E(＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量2．意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．3．性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝ax i＋b)＝P(X＝x i)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.1．下列说法正确的有________．(填序号)①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化；②随机变量的均值反映样本的平均水平；③若随机变量X 的数学期望E (X )＝2，则E (2X )＝4； ④随机变量X 的均值E (X )＝x 1＋x 2＋…＋x nn.【解析】 ①错误，随机变量的数学期望E (X )是个常量，是随机变量X 本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .【答案】 ③2．已知离散型随机变量X 的分布列为：则X 的数学期望E (【解析】 E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32. 【答案】 323．设E (X )＝10，则E (3X ＋5)＝________. 【解析】 E (3X ＋5)＝3E (X )＋5＝3×10＋5＝35. 【答案】 35教材整理2 两点分布与二项分布的均值 阅读教材P 62～P 63，完成下列问题． 1．两点分布和二项分布的均值 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ； (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 2．随机变量的均值与样本平均值的关系随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．1．若随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则E (X )的值为________.【导学号：29472067】【解析】 E (X )＝np ＝4×13＝43. 【答案】 432．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X 的期望是________．【解析】 因为P (X ＝1)＝0.8，P (X ＝0)＝0.2，所以E (X )＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.【答案】 0.83．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数， 则E (X )＝________.【解析】 每一次摸得红球的概率为610＝35，由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，35，则E (X )＝4×35＝125.【答案】 125[小组合作型]两点分布与二项分布的均值某运动员投篮命中率为p ＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望．【精彩点拨】 (1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求解．【自主解答】 (1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：则E(X)＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.1．常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则(1)两点分布E(X)＝p；(2)二项分布E(X)＝np.熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．2．两点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．[再练一题]1．某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300 D．400【解析】由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～B(1 000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1 000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.【答案】 B离散型随机变量的均值公式及性质已知随机变量X 的分布列如下：(1)求m (2)求E (X )；(3)若Y ＝2X －3，求E (Y )．【精彩点拨】 (1)利用分布列的性质求m ； (2)利用离散型随机变量的均值公式求解； (3)利用离散型随机变量均值的性质求解．【自主解答】 (1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1， 解得m ＝16.(2)E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730. (3)法一：由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝ E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1730－3＝－6215. 法二：由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下：所以E (Y )＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求解．2．对于aX ＋b 型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；也可以先列出aX ＋b 的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．[再练一题]2．已知随机变量ξ的分布列为若η＝aξ＋3，E(η)＝73，则a＝()A．1 B．2 C．3 D．4【解析】由分布列的性质得12＋13＋m＝1，所以m＝16.所以E(ξ)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13.所以E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝－13a＋3＝73，得a＝2.【答案】 B求离散型随机变量的均值在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值.【导学号：29472068】【精彩点拨】(1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值．【自主解答】只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P (ξ＝0)＝5C 26＝13，P (ξ＝1)＝4C 26＝415，P (ξ＝2)＝3C 26＝15，P (ξ＝3)＝2C 26＝215，P (ξ＝4)＝1C 26＝115.从而知ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.求离散型随机变量ξ的均值的步骤1．根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值． 2．求出ξ的每个值的概率． 3．写出ξ的分布列． 4．利用定义求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识．[再练一题]3．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及均值．【解】 X 可取的值为1,2,3， 则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310， P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X的分布列为E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.[探究共研型]离散型随机变量的均值实际应用探究1某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？【提示】随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X＝0)＝0.3，P(X＝1)＝0.7.探究2在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？【提示】每次平均得分为810＝0.8.探究3在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？【提示】在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【自主解答】 (1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2. P (X ＝6)＝126200＝0.63，P (X ＝2)＝50200＝0.25，P (X ＝1)＝20200＝0.1， P (X ＝－2)＝4200＝0.02. 故X 的分布列为：(2)E (X )(3)设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为 E (X )＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x )＋1×x ＋(－2)×0.01 ＝4.76－x (0≤x ≤0.29)．依题意，E (X )≥4.73，即4.76－x ≥4.73， 解得x ≤0.03，所以三等品率最多为3%.1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．[再练一题]4．甲、乙两人各自独立破译某个密码，甲破译出密码的概率是23，乙破译出密码的概率是45，设破译出该密码的人数为X ，求其数学期望．【解】 设A 、B 分别为甲、乙破译出该密码的事件，X 的可能取值是0,1,2. P (X ＝0)＝P (A ·B )＝P (A )·P (B ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝115； P (X ＝1)＝P (A ·B )＋P (A ·B ) ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×45＝25；P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×45＝815. 所以X 的分布列是因此E (X )＝0×115＋1×25＋2×815＝2215.1．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是( )A ．np (1－p )B ．npC ．nD ．p (1－p )【解析】 依题意知，用电单位X ～B (n ，p )，所以E (X )＝np . 【答案】 B2．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝14，k ＝1,2,3,4，则E (X )的值为( )A ．2.5B ．3.5C ．0.25D ．2【解析】 E (X )＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝2.5. 【答案】 A3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的均值【解析】 依题意得⎩⎨⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即⎩⎨⎧x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，解得y ＝0.4. 【答案】 0.44．已知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫100，12，则E (2X ＋3)＝________.【解析】 E (X )＝100×12＝50，E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝103.【答案】 1035．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X 表示取得的分数．求：(1)X 的分布列； (2)X 的均值．【解】 (1)由题意知，X 可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝C 24C 29＝16，P (X ＝1)＝C 13C 14C 29＝13，P (X ＝2)＝C 14C 12＋C 23C 29＝1136， P (X ＝3)＝C 12C 13C 29＝16，P(X＝4)＝C22C29＝136.故X的分布列为(2)E(X)＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝149.。