R N C N 1 1/3 C 3 1 w(2) 0.75 0.25
Return
λmax=2
C.I.=0
N A B2 Q
A 1 1 1/2
B2 1 1 1/2
Q 2 2 1
w1(3) 0.4 0.4 0.2
λmax=3
C.I.=0
Return
w(3)
最底层（方案层）对准则层的单排列权 重，只需对题目给的数据归一化即可。 由于要支出最小价格倒数，价格倒数归一：
2.86 2.76 0.25
0.0055 0.0012 0.0014
X1 X2 X3
该人体重55公斤， 每天对各种营养的最小需求为： 维生素A：7500 国际单位 维生素B2：1.6338 毫克 热量：2050 千卡
问题：应如何搭配食品？
（自然的想法是：使在保证营养的情况下支 出最小）
容易建立如下线性规划模型：
=(0.193, 0.314, 0.493) T
Return
类似上面可解得：设 x1=0.193k, x2=0.314k, x3=0.493k min Z=0.0021285k 则⑴、⑵变为 s.t. 12.3931k≥7500 0.0016k≥1.6338 1.54187k≥2050 0.193k≥140, 0.314k≤450, k≥0
Return
x1=338.45克，x2=324.35克，x3=749.41克 Z=3.30元 满足条件⑵ 此时各营养成分含量如下： 维生素A：18804.52国际单位 维生素B2：2.400毫克 热量Q：2050.01千卡 若认为总支出太大，可适当降低第二层中 营养的权重 。 Return
若改为
z*<1.67
结论1：不吃肉，面包689.44克，蔬菜610.67克，
每日支出1.67元。
显然这个最优方案是行不通的，它没有考虑 本人对食品的偏好。 我们可根据偏好加约束: x1≥140, x2≤450, ⑵ x3不限
则得到线性规划解： x*=(245.44, 450.00 424.19)T
Z*=2.48元
min Z=0.0055 x1+0.0012 x2+0.0014 x3
s.t. 0.3527 x1+25.0 x3≥7500
⑴
0.0021 x1+0.0006 x2+0.002x3≥1.6338
2.86 x1+2.76 x2+0.25 x3≥2050
x1，x2，x3≥0
利用单纯形法可得解 x*=(0, 689.44, 610.67)T
层次分析举例
--------最佳食品搭配问题！
假设某人有3种食品可供选择：肉，面包，蔬 菜它们所含营养成分及单价如下表：
食品 维生素A 维生素B2 热量 单价 搭配量 （国际 （毫克/克） （千卡/克） （元/克） 单价/克）
肉 面包 蔬菜
0.3527 0 25.0
0.0021 0.0006 0.002
得解 k=1329.56 于是 x1=256.61克， x2=419.48克， x3=655.47克， Z=2.83元 即每日肉256.61克，面包419.48克，蔬 菜655.47克，总支出2.83元
各营养成分含量如下： 维生素A：16479.33国际单位 维生素B2：2.100毫克 热量 Q：2050.01千卡
Q 0.4872 0.4702 0.0426
C(价格) 0.1057 0.4819 0.4310
合成权重w(4) = U(4)w(3) = (0.24, 0.23, 0.53)T
Return
设 x1=0.24k, x2=0.23k, x3=0.53k 则 ⑴变为 min Z = 0.002338k s.t. 13.3346k ≥7500 0.0017k ≥1.6338 1.4537k ≥2050 k≥0 解得：k = 1410.20
在这里各营养成分被看成同样重要， 起决定因素的是支出。但实际上， 营养价值与支出都需考虑，只是地位 （权重）不同。这样无法建立目标函数。 下面用层次分析法来处理问题：
层次结构：
每日需求 R
营养 N
维生素 A 维生素 B2 热量 Q
支出 C
肉 me
面包 br
蔬菜 ve
对于一个中等收入的人，满足营养要求 比支出更重要。 于是：
R N C λmax=2 C.I.=0
Return
N 1 1
C 1 1
w(2) 0.5 0.5
其余不变： 0.4 0 w(3) = 0.4 0 0.5 = (0.2,0.2,0.1, 0.5)T 0.2, 0.2 0.5 0 1 .0319 .4468 .4872 .1081 0.2
w(4) =U(4)w(3) = .0000 .1277 .4702 .4819 0.2 .9861 .4255 .0426 .4130 0.1
下图为日支出对于营养权重变化的灵 敏度曲线。它们基本上位于线性规划 ⑴、⑵的可行解目标值(支出为 1.67~3.80元)范围内。 支出（元）
15 10 1.67
Байду номын сангаас
（1, 3.80）
5
0.25
0.5
0.75
1
( 181.818，833.333，714.286 )T
0.4 = 0.4 0.2 0
0 0 0 1
0.75 0.25 =(0.3, 0.3, 0.15, 0.25)T
于是得到
Return
A
U(4) me br ve 0.0139 0.0000 0.9861
B2 0.4468 0.1277 0.4255