［1］ （2） 和 （4） 与理论一致 。
139
表1 Tab . 1
参数 圆柱 1 圆柱 2 半径 （mm） R 38 . 073 63 . 670 距离 （mm） i 7 . 198 6 . 005
5
两无限长圆柱接触分析 Two cyiinder contact anaiysis
理论计算 有限元计算 （ N / mm ） Tmax 229 . 578
低， 而且由于单元离散本身有误差， 计算精度不会 有明显提高。 因此罚参数有最佳范围， 通常取 1 - 10 倍接触体的弹性模量。 网格密度也与计算效率和精 度有关， 网格越密计算精度越高而效率降低。 使用 一次单元时摩擦力使得计算效率明显减低， 需要更 多的迭代次数， 摩擦系数越大效率和精度越低。 表 计算模型网格密 2 是摩擦力对接触应力影响计算， 度接触处只有图 1 中一半， 但需要另一半的对称模 摩擦系数为 0 . 1 时， 型。 无摩擦时， 迭代次数为 10， 力的收敛误差为 0 . 001，迭代次数为 42； 摩擦系数 收敛误差为 0 . 05，迭代次数为 93。 摩擦系数 0 . 2 时， 计算难于进行。 而使用同样网格二次 8 大于 0 . 2 时， 节点等参单元和面 — 面接触单元， 能有效计算有 摩擦接触问题。 当摩擦系数为 0 . 2 时， 收敛误差为 0 . 001，迭代次数为 14。 a2 = 4 PR !E ! 2P p0 = !a 1 1 1 = + R R1 R2 表3 Tab . 3
2 i S（ H m） 3 . 898
S（ H m） 6 . 151
6 . 710
2
S（ H m） 6 . 146
6 . 707
i S（ H m） 3 . 966
（ N / mm ） Tmax 230 . 85
2
3 . 701
229 . 578
3 . 722
230 . 28
注： 弹性模量： 泊松比： E1 = E2 = 2 . 06 X 10 N / mm ， U1 = U2 = 0 . 3， I = 10 E1
罚参数大小与计算效率和精度有关， 罚参数
［2］ 越小计算误差越大 ， 但罚参数太大计算效率降
（1 - 1 2 2i 1i i） i （ i ）2in SHi = P ! a 1 - 1i !E （1 - 1 2 4R i） （ i ）- 1 2in SH = P ! a E !
{
}
（2） （3） （4）
摸数 m 8 压力角 齿数 Z1 29 变位系数 X1 0 . 1672 顶圆半径 ra1 125 . 25
{
}
Tmax = 0 . 3003 p 0
变形， i、 R 如图 2。 Tmax 是最大赫兹应力，
a 是赫兹接触半宽， p 0 是最大赫兹压力， SH 是接触
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轮齿变形和接触应力的计算实例
表2 Tab . 2
摩擦系数 计算应力 圆柱 1 圆柱 2 0 赫兹应力 229 . 578 229 . 578
有摩擦接触应力分析 （单位： N / mm2）
1 2 （ 0.（ 1 0 . 001） 42） 3 （误差） 误差 Tmax 1 2 （ 0.（ 2 0 . 05） 93） 3 （误差） 误差 Tmax 1 2 （ 0.（ 2 0 . 001） 14） 3 （误差） 误差 Tmax
Vol . 20 ， No . 2 计 算 力 学 学 报 April 2003 Chinese Journal of Computational Mechanics 2003 年 4 月 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 第20卷第2期
文章编号： （2003） 1007-4708 02-0189-06
齿轮接触有限元分析
杨生华
（煤炭科学研究总院 上海分院， 上海 200030） 摘 要： 通过接触仿真分析研究了通用接触单元在轮齿变形和接触应力计算中的应用。建立了一对齿轮接触仿
真分析的模型， 并使用新的接触单元法计算了轮齿变形和接触应力， 与赫兹理论比较， 同时也计算了摩擦力对接 触应力的影响。计算分析了单元离散、 几何、 边界范围与加载或约束处理方式的误差， 建立了一个计算轮齿变形 和接触应力的标准， 说明了新的接触单元法的精确性、 有效性和可靠性。 关键词： 接触单元； 轮齿变形； 接触应力； 计算标准； 仿真分析 中图分类号： TP391 文献标识码： A
ห้องสมุดไป่ตู้
1
引
言
建立了一个计算轮齿变形和接触应力的标准或基 准， 给力学研究和机械设计人员一个参考。
计算接触非线性问题有许多方法， 例如罚函数 法、 拉格朗日乘子法等， 其中罚函数法由于其经济 和方便而得到广泛使用。过 去 使 用 点-点 接 触 单 元， 求解接触问题， 对于象齿轮类接触， 模型构造很 麻烦， 计算结果精度和准确性很难保证。随着计算 机和有限元法的发展， 新的接触单元法产生精确的 几何模型， 自动划分网格， 自适应求解。新的单元 计算精度更高， 更有效， 功能更强大。其中接触单 元能非常有效地求解接触非线性问题， 新的通用接 触单元 （包括点-面和面-面单元） 特别适合于计算 齿轮接触问题。在微机上能实现齿轮接触仿真分 析， 大大地促进了齿轮 CAE 的形成和发展。 轮齿变形的有限元分析 20 世纪 70 年代已开 始， 但仅仅计算挠曲变形。接触变形和接触应力的 有限元分析在 20 世纪 90 年代才真正开始。总之， 过去的计算是基于试验的计算方法， 计算方法是简 化的、 近似的， 不够精确更不够可靠； 没有使用有限 元法研究轮齿接触变形和应力， 并说明与赫兹变形 和应力之间的差别， 没有分析计算误差， 没有考虑 齿轮本体变形对轮齿变形的影响， 没有计算摩擦力 对接触应力的影响。 文中使用 ANSYS 大型通用有限元分析软件， 在 个人计算机上建立齿轮接触仿真分析模型。通过两 圆柱赫兹接触变形和应力验证其有效性和精度， 分 析计算了一对直齿轮的轮齿变形和接触应力， 说明 了新的接触单元法的精确性、 有效性和可靠性。
Contact stress anaiysis with friction（Unit：N / mm2）
1 2 （ （ 10） 0 0 . 001） 3 （误差） 误差 Tmax
（3 . 88） 231 . 07 （3 . 93） 230 . 40
1 . 0% 0 . 5%
（4 . 04） 234 . 58 （4 . 15） 233 . 82
齿数 Z2 40 变位系数 X2 0 . 1687 顶圆半径 ra2 169 . 26 齿宽 6 34 中心距 A 278 . 60 功率 （kw） P 60 转速 I 400
O 20
注： 刀具圆角半径P = 0 . 38m， 刀具齿顶高 Iao = 1 . 25m . E = 2 . 06 X 105 N / mm2 ， U = 0 . 3，
140
3.2
轮齿变形和接触应力的有限元计算模型 轮齿变形包括挠曲变形和接触变形及基础变 3.4 轮齿变形分开计算和仿真分析结果比较 轮齿变形的计算方法有两种： 一种是分开计 算， 即轮齿的挠曲变形按图 2 模型计算， 接触变形 按公式 （2）计算； 第二种方法， 建立一对齿轮的啮 合接触仿真分析模型， 进行接触分析而得出轮齿变 形。 表 4 为分开计算时和仿真分析计算结果， 仿真 整轮啮合接触计 分析时三齿接触网格模型如图 4， 算模型两轮本体都为实心， 两轮本体内圆直径 （轴 径） 都为 90mm。 分开计算时轮齿挠曲变形单齿模 型的边界范围 PORS 相对两个仿真模型分别取二 齿宽和三齿宽。 仿真计算结果表明： 接触变形按赫兹变形公式 计算有误差， 由于齿轮接触已经是非赫兹接触， 按 照公式 （2） 计算有 # 7% 左右误差。 单齿挠曲变形 计算的误差来源于边界范围， 轮齿挠曲变形边界范 围 PS、 只要适当调整可以 OR 应在 2 $ 3 齿宽之间， 和仿真分析取得一致结果。 轮齿变形受到齿轮本体 变 形 的 影 响， 局部和整轮仿真分析结果误差达 # 9 " 1% 。 3.5 轮齿接触应力仿真分析结果与赫兹 应力计算比较 轮齿接触应力计算方法也有两种： 赫兹接触应 力公式计算和有限元接触仿真分析计算。 由于齿轮 是渐开线轮齿接触， 赫兹接触应力肯定是近似的， 特别在有摩擦时， 必然存在误差， 而接触仿真分析 能计算其误差大小。 表 5 是有无摩擦接触时整轮仿 真分析计算结果和赫兹接触应力比较， 齿轮啮合时 由于摩擦力造成接触力增加。 由表中看出： 齿轮实 际接触应力比赫兹接触应力大， 均超过 5% 。 当摩 擦系数从 0 提高到 0 . 2 时， 赫兹接触应力误差达 而齿轮接触应力也提高 5% 以上， 当载荷增 10% ， 加时 赫 兹 接 触 应 力 误 差 也 增 加， 3 倍载荷时达 而且接触应力分布计算结果最大应力深度大 10% ， 于赫兹理论 0 . 786a （ a 为赫兹接触半宽） 。
形： 轮齿挠曲变形计算模型的边界范围通常取一齿 宽， 计算的变形是轮齿对称中心点 ! 的载荷方向 （齿面法向）的变形； 轮齿接触变形是载荷作用点 至轮齿对称点之间的变形； 轮齿基础变形为轮齿根 部的弹性倾斜对轮齿变形的影响。 为了计算方便， 把基础变形包括在挠曲变形中。 轮齿挠曲变形的单 边界范围为 PORS （图中 齿有限元模型如图 2 所示， 。 为二齿宽， 轮缘厚度 1 . 5m） 过去轮齿接触变形用赫兹接触理论公式近似 计算， 但轮齿接触变形和赫兹接触变形之间存在多 大误差， 考虑轮齿基础变形影响的轮齿挠曲变形有 限元计算的边界范围应该取多大， 需要建立一对啮 合齿轮接触有限元仿真分析模型， 图 3 是三齿啮合 接触计算模型。 接触分析还能计算接触应力和应力 分布， 并能考虑摩擦力的影响， 计算齿轮接触应力 与赫兹接触应力之间的误差。 3.3 计算模型的网格 对齿轮接触分析来说， 为了有效地生成网格， 模型划分为接触区域， 接触轮齿和非接触轮齿三个 部分， 接触单元最后再产生。 由于自动生成的接触 单元较多， 需要控制接触面和目标面范围， 接触范 围一般不超过两倍的赫兹接触长度。 图 4 是三齿接 触一个模型网格，为了得到精确的变形， 接触轮齿 的相邻轮齿的网格也需要适当加密。 为了得到精确 的接触应力， 接触处网格要更密些， 通常单元边长 为赫兹半宽的十分之一或更小。 图 4 中接触处单元 边长为赫兹半宽的十分之一， 接触区半径为赫兹半 宽的 1 " 5 倍， 图中右下角为接触区网格放大图， 该 其中接触单元为 模型总节点数 5632，单元数 5325， 对整轮接触仿真模型， 接触模型的其余部分 60 个。