导数小题中构造函数的技巧
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。

（一）利用)(x f 进行抽象函数构造
1、利用)(x f 与x 构造；常用构造形式有x x f x xf )(),
(；这类形式是对v
u v u ,⋅型函数导数计算的推广及应用，我们对v u v u ,⋅的导函数观察可得知，v u ⋅导函数中
体现的是“+”法，v
u 型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造v u ⋅型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造v
u ，我们根据得出的“优先”原则，看一看例1，例2.
【例1】)(x f 是定义在R 上的函数，当0<x 时，0)()('<+x xf x f ，且0)4(=-f ，则不等式0)(>x xf 的解集为____________❀❀❀思路点拨：出现“+”形式，优先构造)()(x xf x F =，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.
【解析】构造)()(x xf x F =，则)()()(''x xf x f x F +=，当0<x 时，0)()('<+x xf x f ，可以推出0<x ，0)('<x F ，)(x F 在)0,(-∞上单调递减.∵)(x f 为偶函数，x 为奇函数，所以)(x F 为奇函数，∴)(x F 在),0(+∞上也单调递减.根据0)4(=-f 可得0)4(=-F ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知0)(>x xf 的解集为)4,0()4,(⋃--∞.
【例2】设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0)1(=f ，当0<x 时，有0)()('>-x f x xf 恒成立，则不等式0)(>x f 的解集为________________
❀❀❀思路点拨：出现“-”形式，优先构造然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.x
x f x F )()(=
【解析】构造x x f x F )()(=，则2
'')()()(x x f x x f x F -⋅=，当0<x 时，0)()('>-x f x xf ，可以推出0<x ，0)('>x F ，)(x F 在)0,(-∞上单调递增.∵)(x f 为偶函数，x 为奇函数，所以)(x F 为奇函数，∴)(x F 在),0(+∞上也单调递减.根据0)1(=f 可得0)1(=F ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知0)(>x f 的解集为),1()1,(+∞⋃--∞.
x
x f x xf )(),(是比较简单常见的)(x f 与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.)()(x f x x F n =，)]()([)()()('11'x f x nf x x f x x f nx x F n n n +=+=--；
n x
x f x F )()(=，1'21'')()()()()(+--=-⋅=n n n n x x nf x xf x x f nx x x f x F ；结论：
出现)()('x xf x nf +形式，构造函数)()(x f x x F n =；
出现)()('x nf x xf -形式，构造函数n x
x f x F )()(=.我们根据得出的结论去解决例3题
【例3】已知偶函数)0)((≠x x f 的导函数为)('x f ，且满足0)1(=-f ，当0>x 时，)()(2'x xf x f >，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是___________❀❀❀思路点拨：满足“)()('x nf x xf -”形式，优先构造然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.
n x x f x F )()(=
【解析】构造2)()(x x f x F =，则3'')(2)()(x
x f x x f x F -⋅=，当0>x 时，0)(2)('<-x f x xf ，
可以推出0>x ，0)('<x F ，)(x F 在),0(+∞上单调递减.∵)(x f 为偶函数，2x 为偶函数，所以)(x F 为偶函数，∴)(x F 在)0,(-∞上单调递增.根据0)1(=-f 可得0)1(=-F ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知0)(>x f 的解集为)1,0()0,1(⋃-.
【变式提升】设函数)(x f 满足x x f x x f x ln 1)(3)(2'3+=+，且e
e f 21)(=，则0>x 时，)(x f （）
A 、有极大值，无极小值
B 、有极小值，无极大值
C 、既有极大值又有极小值
D 、既无极大值也无极小值❀❀❀思路点拨：满足“)()('x nf x xf +”
形式，为3=n 时情况，优先构造n
x x f x F )()(=，然后利用积分、函数的性质求解即可.【例4】设)(x f 是定义在R 上的奇函数，在)0,(-∞上有0)2()2(2'<+x f x xf ，且0)2(=-f ，则不等式0)2(<x xf 的解集为___________.❀❀❀思路点拨：满足“)()('x nf x xf +”形式，优先构造)2()(x xf x F =，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.注意0)2(=-f 和)(x F 的转化.
【解析】构造)2()(x xf x F =，则)2()(2)(''x f x xf x F +=，当0<x 时，0)2()(2)(''<+=x f x xf x F ，可以推出0<x ，0)('<x F ，)(x F 在)0,(-∞上单调递减.∵)(x f 为奇函数，x 为奇函数，所以)(x F 为偶函数，∴)(x F 在),0(+∞上单调递增.根据0)2(=-f 可得0)1(=-F ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知0)2(<x xf 的解集为)1,0()0,1(⋃-.。