• 数学知识和能力的培养 ~―算数学”与“用数学” • 社会发展对数学提出的要求 • 数学教学体系和内容的改革 • 从二十世纪六、七十年代 (西方) 到八、九十年代 (我国) 数学建模课程的产生与发展(清华, 萧树铁)
马克思说：一门科学只有成功地运用数学时，才算完善。
开设数学建模课程的目的
引起注意 激发兴趣 介绍方法
假设 模型
皮的厚度一样
S ns (1)
2
R ~大皮 半径 S πR , V 4πR 3 / 3 r ~小皮半径 s πr ,
2
V kS 3/ 2 (2)
v 4πr / 3
3
v ks
3/ 2
(3)
(1),(2),(3)
V n v
3/ 2
应用
V n (nv) nv
1.2 初等模型一“航行问题”
甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解
x =20 y =5
答：船速每小时20千米.
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
• 椅子位置
利用正方形(椅脚连线)的对称性
B A´
用 (对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 B ´ • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是 的函数 四个距离 (四只脚) 两个距离
C
O C´

D´
A
x
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
全国大学生数学建模竞赛的题目（本科队从A, B 题中选一题，专科队从C, D题中选一题
年 2000 2001 2002 A题 B题 C题 飞越北极 D题 空洞探测
DNA序列分类 钢管订购和运 输 血管的三维重 公交车调度 建 车灯线光源的 彩票中的数学 优化设计
基金使用计 公交车调 划 度 车灯线光源 赛程安排 的计算
形式
• 3名大学生组队，在3天内完成的通讯竞赛 • 可使用任何“死材料”(inanimate source) （图书、 计算机、软件、互联网等），引用必须注明出处。 但不得与队外任何人讨论(Email, 网聊，电话等）
标准 宗旨
假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性， 表述的清晰程度 创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f ( ), g( ) 是连续函数
对任意 , f ( ), g( ) 至 少一个为 0
数学 问题
已知： f ( ), g( )是连续函数 ;
对任意， f ( ) • g( )=0 ;
数学建模
Mathematical Modeling
E-mail: jianmobetter@
内容:
1. 数学建模课程(课本\参考书\考核方式) 2. 有关数学建模竞赛
3. 初等模型 (航行问题\爬山问题\包汤圆问题 商人过河\椅子问题\人口模型) 4. 建模的过程\步骤与学习方法
数学建模课程的由来
1.2 初等模型五“椅子平放问题”
问：椅子能在不平的地上放稳吗？
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面;
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
模型构成
某人从早上8：00从山脚下出发，沿一条路径上
山，下午17：00到达山顶并留宿，次日早上9：00 沿同一路径下山，当天下午16：00回到山脚下。则 此人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。
请用数学语言来描述此现象，并证明之。
1.2 初等模型三“包汤圆问题”
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆。 若1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应该怎么包？ 提示：多包几个？或少包几个？（在大小相似意义下）
2003
2004
露天矿生产的 SARS的传 车辆安排 播 奥运会临时超 电力市场的输 饮酒驾车 市网点设计 电阻塞管理 SARS的传播
抢渡长江
公务员招 聘
年 A题 2005 长江水质的评价和 预测 2006 出版社的资源配置
2007 人口预测问题 2008 数码相机定位 2009 制动器试验台的控 制方法分析
• Applied Mathematical Modelling (美，月刊） 数学建模思想与方法的推广：—— 数学建模竞赛
全国大学生数学建模竞赛

• 1992年由中国工业与应用数学学会(CSIAM)组织第一次竞赛 • 1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月)
常用的计算公式
k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
xk x0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 单位时间内人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻 t 的人口
x( t t ) x( t ) r x( t )t
展开：
圆面积为 S 的一个大皮，包成体积为V 的大汤 圆; 若分成 n 个小皮，每个小皮的圆面积为 s ，每 个小皮可以包成体积为 v 的小汤圆。
S
V s v s v
…
s v
(共 n 个)
S V
s v
s v
…
s v
(共 n 个)
V 和 nv 哪个大? V 比 nv 大多少?
定性分析 定量分析
利用圆面积、球体积推导，然后推广到不规则物件。
离散和连续
静态和动态 线性和非线性
建模目的
了解程度
描述、优化、预报、决策、…
白箱 灰箱 黑箱
课程的考核
•平时成绩: 3次上机实验提交实验报告: •最后考试: 50%
校级建模竞赛、出勤\课堂表现: 50%
开卷考试
•成绩评定:平时成绩*50%+考试成绩*50%
数学建模相关期刊
• 数学的实践与认识（中，月刊） • 工程数学学报（中，双月刊） • The Journal of Undergraduate Mathematics and its Applications ( UMAP, 美，季刊） • Mathematical and Computer Modelling (美,半月刊)
培养能力
课 本
数学实验与数学建模讲义 ，自编
参考书
• ―数学建模”, 徐全智等编
• ―数学建模与数学实验”，赵静但琦编
• ―数学模型与数学建模”，刘来福等编
• ―数学模型”(第三版)，姜启源 谢金星 叶俊编 • ―数学建模的理论与实践”，吴翊等编
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
• 全国高校规模最大的课外科技活动
全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已 成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模 最大的数学建模竞赛。2011 年，来自全国33个省/市/自治区 (包括香港和澳门特区)及新加坡、美国、伊朗的1251所院校、 19490个队（其中本科组16008队、专科组3482队）、58000 多名大学生报名参加本项竞赛。 合作伙伴及独家冠名赞助商（2002-2011）： 高等教育出版社 赞助商(2009-2011): 北京迈斯沃克软件有限公司 MATLAB原厂商 Matlab软件
3/ 2
(3)
后续分析同上。
1.2 初等模型四“商人过河问题”
3个商人带着3个仆人过河，过河的工具只有一艘 小船，小船只能最多同时载两个人过河，包括划船人。 在河的任何一边，只要仆人的数量超过商人的数量， 仆人就会联合起来将商人杀死并抢夺其财物。 问：应如何设计过河顺序才能让商人都安全地过河。
见word文档分析。
V是 .4 公斤馅
讨论：
包汤圆、包饺子或包馄饨有无本质区别？ 假设：大小饺子、大小馄饨相似 R ~大皮 半径
S k1R V k2 R
2
3
V kS
3/ 2
(2)
r ~小皮半径
s k1r 2 , v k2 r 3
v ks
1.1
从现实对象到数学模型
玩具、照片、航模、沙盘、车模 ……
（1）实物模型 （2）物理模型
波浪水箱中的舰艇、风洞中的飞机、 核爆炸反应模拟、破坏性实验 ……
（3）符号模型
地图、电路图、分子结构图……
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
且 g(0)=0， f (0) > 0.
证明：存在0，使f (0) = g(0) = 0.
模型求解
给出一种简单、粗造的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知 f (/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
美国大学生数学建模竞赛参赛队数 1000 800 600 400 200 0 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 总数 中国
• 1996年起，复旦、中国科大、华东理工、清华、浙大、 国防科大、北大、东南大学、东华大学先后荣获最高奖