高数中的重要定理与公式及其证明（二）在第一期的资料内我们总结了高数前半部分需要掌握证明过程的定理，由于最近比较忙，所以一直没来得及写。

现将后半部分补上。

希望对大家有所帮助。

1）泰勒公式（皮亚诺余项）设函数()f x 在点0x 处存在n 阶导数，则在0x 的某一邻域内成立()()()()200'''()00000()()()()...()2!!nnn x x x x f x f x x x f x f x f x o x x n --⎡⎤=+-++++-⎣⎦【点评】：泰勒公式在计算极限、高阶导数及证明题中有很重要的应用。

对于它们，我们首要的任务是记住常见函数（sin ,cos ,ln(1),,(1)xax x x e x ++）在0x =处的泰勒公式，并能利用它们计算其它一些简单函数的泰勒公式，然后在解题过程中加以应用。

在复习的前期，如果基础不是很好的话，两种不同形式的泰勒公式的证明可以先不看。

但由于证明过程中所用到的方法还是很常用的。

因此把它写在这里。

证明：令()()()200'''()00000()()()()()...()2!!nn x x x x R x f x f x x x f x f x f x n ⎡⎤--=-+-+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 则我们要证明()0()nR x o x x ⎡⎤=-⎣⎦。

由高阶无穷小量的定义可知，需要证明()0()lim0nx x R x x x →=-。

这个极限式的分子分母都趋于零，并且都是可导的， 因此用洛必达法则得()()()()()1''''()00000100()()()...()1!()limlim n n nn x x x x x x f x f x x x f x f x n R x x x n x x --→→⎡⎤--+-++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=--再次注意到该极限式的分子分母仍趋于零，并且也都是可导的，因此可以再次运用洛必达法则。

不难验证该过程可以一直进行下去，运用过1n -次洛必达法则后我们可以得到()()()()000(1)(1)()00000(1)(1)()000()()()()limlim !()()()lim!!n n n nx x x x n n n x x f x f x x x f x R x n x x x x fx f x f x n x x n --→→--→---=---=--由于()f x 在点0x 处存在n 阶导数，由导数的定义可知()(1)(1)()000()()lim ()n n n x x f x f x f x x x --→-=-代入可得()0()lim0nx x R x x x →=-。

证毕注：这个定理很容易得到如下错误的证明：直接用n 次洛必达法则后得到()()()00()limlim ()()0n n nx x x x R x f x f x x x →→=-=-错误的原因在于定理条件中仅告知了()f x 在点0x 处存在n 阶导数，并没有说明在其它点处的n 阶导数是否存在。

就算其它点处的n 阶导数也存在，()()n fx 也不一定连续，()()0lim ()()0n n x x f x f x →-=也不一定成立。

希望大家注意。

2）泰勒公式（拉格朗日余项）设函数()f x 含有点0x 的某个开区间(,)a b 内有直到1n +阶导数，则对(,)a b 内任意一点x ，都成立()()()200'''()0000()()()()...()()2!!nn n x x x x f x f x x x f x f x f x R x n --=+-++++其中()10(1)()()(1)!n n nx x R x f n ξ++-=+，其中ξ介于x 和0x 之间。

【点评】：同上。

证明：令()()()200'''()00000()()()()()...()2!!nn x x x x R x f x f x x x f x f x f x n ⎡⎤--=-+-+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()110()n n P x x x ++=-则我们需要证明(1)1()()()(1)!n n R x f P x n ξ++=+。

由于010()()0n R x P x +==，因此01110()()()()()()n n n R x R x R x P x P x P x +++-=-易知，1(),()n R x P x +满足柯西中值的条件。

因此，由柯西中值定理可知，在x 和0x 之间存在一点1ξ使得()''011'110111()()()()()()()1()n n n n R x R x R R P x P x P n P ξξξξ+++-==-+而()()10'''''()0000()()()()...()(1)!n n x x R x f x f x x x f x f x n -⎡⎤-=-+-++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 因此，此时仍然有'00()()0n R x P x ==。

则()'''101110()()()11()(1)()()n n n R R x R n P n P P x ξξξξ-=++-。

易知，'(),()n R x P x 仍满足柯西中值的条件。

因此，由柯西中值定理可知，在1ξ和0x 之间存在一点2ξ使得()()''''''1022'10212()()()()111()()(1)()1()n n n n R R x R R n P P x n P n nP ξξξξξξ--==+-++。

由于1ξ在x 和0x 之间，因此2ξ也在x 和0x 之间。

容易检验，上述过程可以一直进行下去，使用过1n +次柯西公式后即可得到(1)1()()()(1)!n n R x f P x n ξ++=+。

证毕注：在计算极限或确定无穷小量的阶时，一般用到皮亚诺余项的泰勒公式；在做证明题时用拉格朗日余项比较多。

两种泰勒公式的条件是不同的，其中拉格朗日余项的条件更强，结论也更强。

这两个定理的证明，如果基础不太好一时接受不了的话可以先跳过，到下一阶段再看。

3）定积分中值定理设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则在积分区间[,]a b 上至少存在一点ξ使得下式成立：()()()baf x dx f b a ξ=-⎰【点评】：积分中值定理是定积分比较定理和闭区间上连续函数的介值定理的推论，它在是证明微积分基本定理的基础，在整个微积分中具有极大的理论意义。

同时，证明题中对该定理的应用也比较常见，通常会和微分中值定理结合使用，考生首先应该熟记该定理的条件和结论。

另外，考试中还出现过与该定理证明方法类似的证明题。

因此，该定理的证明过程也是需要掌握的。

该定理的证明过程教材上有，因为比较重要，也为了方便大家，在这里写一下我的证明过程 证明：由于()f x 在区间[,]a b 上连续，由闭区间上连续函数的最值定理可知：()f x 在区间[,]a b 上可以取到最大与最小值。

设最大值为M ，最小值为m 。

则有[](),,m f x M x a b ≤≤∈。

则有()bb b aaamdx f x dx Mdx ≤≤⎰⎰⎰，也即()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰两边同时除以()b a -可得()baf x dx m M b a≤≤-⎰。

可知()b af x dx b a-⎰是介于函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值M 和最小值为m 之间的一个数。

由闭区间上连续函数的介值定理可知，()f x 能取到[],m M 上的一切数。

因此在积分区间[,]a b 上存在一点ξ使得：()()baf x dx f b aξ=-⎰。

也即()()()baf x dx f b a ξ=-⎰。

证毕 附：下面是02年数三的一道证明题，证明方法与本定理很类似，大家可以试一试。

【02年数三 6分】： 设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，且()0g x >。

试利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点[],a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰。

4）积分上限函数的导数如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变积分上限函数()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上可导，并且它的导数是'()()(),xa d x f t dt f x a xb dxΦ==<<⎰ 【点评】：这个定理的重要性不用强调了，考试中也直接考到过它的证明。

由于是对定理的证明，因此要证明()x Φ的导数等于()f x 只能用定义，对于大家强化导数的定义是一个很好的训练。

证明：(),x a b ∀∈由导数的定义可知，本定理等价于证明0()()lim()x x x x f x x∆→Φ+∆-Φ=∆。

而000()()()()()limlim limx xx x xa axx x x f t dt f t dtf t dtx x x xxx+∆+∆∆→∆→∆→-Φ+∆-Φ==∆∆∆⎰⎰⎰由于()f x 在区间[,]a b 上连续，因此由定积分中值定理可知：存在介于x 与x x +∆之间的ξ使得()()x xxf t dt xf ξ+∆=∆⎰，则00()()limlim ()x x x x x f xξ∆→∆→Φ+∆-Φ=∆。

由于ξ介于x 与x x +∆之间，因此当0x ∆→时，x ξ→。

又由于()f x 在区间[,]a b 上连续，可知0lim ()lim ()()x f f f x ξξξ∆→→==。

也即0()()lim()x x x x f x x∆→Φ+∆-Φ=∆。

由导数的定义可知'()()(),x a d x f t dt f x a x b dxΦ==<<⎰。

证毕5）牛顿—莱布尼兹公式如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰【点评】：牛顿-莱布尼兹公式又名微积分基本定理，是因为它用一个简单的公式就成功地联系起了微积分中最重要的两个概念：微分和积分，极大地简化了定积分的计算。

它是微积分最核心的定理之一，其简洁明了的形式也使它被认为是微积分几百年研究历史中最漂亮的结论之一！该定理和上一个定理实际上是等价的，只需要用到一个函数在同一区间上的不同原函数间仅相差一个常数。