湍流模型及其在CFD中的应用
一个例子
如果在静止的空气里，点燃一个火炬，并且燃料源 源不断地供给，可以发现周围的气体会做强烈的湍流流 动，同时这些气流的湍流流动会促使火焰愈烧愈旺。
上述过程涉及流动、传热、传质和化学反应。
提出问题：湍流对那些过程有影响？哪些因素又反 过来影响湍流？
一、湍流及其数学描述
2）涡粘模型
在涡粘模型中，不直接处理Reynolds应力项，而是引 入湍流粘度（turbulent viscosity），或称湍流系数 （eddy viscosity），然后把湍流应力表示成湍流粘度 的函数，这个计算的关键在于确定这种湍流粘度。
鲍瑟内斯克(Boussinesq)模型
最早的湍流数学模型，一百多年前提出的
1 tt(t)dt t t
(3)
这里，上标“—”代表对时间的平均值。如果用上标“、” 代表脉动值，物理量的瞬时值φ、时均值 及脉动值φ’之 间的关系如下：
时均量与脉动量的关系
'
(4)
现在用平均值和脉动值之和代替流动变量，即：
u u u ';u u u ';v v v ';w w w ';p p p ' (5)
1、湍流流动的特征
流体实验表明，当Reynolds数小于某一临界值时，流动是平滑的， 相邻的流体层彼此有序地流动，这种流动称为层流（laminar flow）。 当 Reynolds数大于临界值时，会出现一系列复杂的变化，最终导致 流动特征的本质变化，流动呈无序的混乱状态。这时，即使是边界 条件保持不变，流动也是不稳定的，速度、压力、温度等流动特性 都随机变化，这种状态称为湍流（turbulent flow）.
S为各方程源项。
在各向同性假定的前提下，按照Boussinesq形式，湍流模型
或湍流封闭的任务可归结为寻求t或t的表达式或者其输运
方程
数学模型
Boussinesq建立起式（15）后，关键问题变成如何求得t 值，引导出各种求t的数学模型。
这些模型分为两大类： 早期提出的代数方程模型——只能解释某些简单的流 动模型——普朗特于1925年提出的混合长度模型和冯 卡门于1930年提出的相似律假设模型 微分方程模型
x y z
v d(v iu )v 1 p v d(g iv r v ) a d u 'v ' v '2 v 'w ' (7b)
t
y
x y z
w d(w iu ) v 1 p v d(g iv w r) a d u 'w ' v 'w ' w '2 (7c)
外界因素对湍流的影响
某些因素会影响湍流的形成。如，当湍流定 性尺度和脉动强度非常小时，流体的粘度会直 接影响当地的湍流度。 当马赫（Mach）数达到5以上时，密度的脉 动量与当地的湍流有密切的关系。 强烈的化学反应、气流的旋转流动、颗粒的 存在以及浮力或电磁场的作用，都会影响当地 的湍流结构。
2、湍流的基本方程
大尺度的涡主要是由流动的边界条件所决定，其尺寸可以 与流场的大小相比拟，它主要受惯性影响而存在，是引起 低频脉动的原因；
小尺度的涡主要是由粘性力所决定的，其尺寸可能只是流 场尺度的千分之一量级，是引起高频脉动的原因。
涡的生成与耗散
大尺寸的涡不断地从主流中获得能量，通过涡间相互作 用，能量逐渐向小尺寸的涡传递。
ui'uj't x uij u xij 3 2 kt u xii i j （15）
Reynolds时均方程组通用形式
t() xj(j) xj( x j)S
通用变量对各方程分别为1，vi，Ys，cpT等，＝e/为输 运系数，为湍流Prandtl数或Schimidt数，e＝＋t ＝( +t)为有效粘性系数，t或t称为湍流粘性或涡流粘性系数，
湍流的作用
由于湍流的存在，速度脉动量在流线方向的分 量和垂直于流线方向的分量之间建立了关联量， 它代表着一种横向交换通量，也可以认为是由 于湍流流动引起的一种附加剪切应力——影响 动量的输运过程。
湍流的存在使传热和传质通量提高。
由于湍流会促进这些基本过程，因此对某些物 理现象就会产生强烈的影响，如，脉动过程的 消衰、均相化学反应率的增加以及液滴蒸发的 强化。
Reynolds平均法是目前使用最广的湍流数值模拟方法。
Reynolds时均法分类
根据Reynolds应力作出的假定或处理的方式不同， 目前常用的湍流模型有两类： Reynolds应力模型 和涡粘模型。
Reynolds时均法分类
1）Reynolds应力模型 Reynolds应力模型包括
Reynolds应力方程模型 代数应力方程模型
针对二维边界层问题
把因湍流引起的、由脉动速度相关联的剪切应力，模仿 层流中以时间平均速度的梯度来表达，即建立了
t
uvt yuvt
u y
Reynolds应力与平均速度梯度的关系
ui'uj't x uij u xij 3 2 kt u xii i j （15）
这里， t 为湍流粘度，u i 为时均速度， ij 是“Kronecker delta”
最后由于流体粘性的作用，小尺度的涡就不断消失，机 械能就耗散为流体的热能。
同时由于边界的作用，扰动及速度梯度的作用，新的涡 又不断产生，构成了湍流运动。
湍流是流体力学中的难题
对某些简单的均匀时均流场，如果湍流脉动是 均匀的、各向同性的，可以用经典的统计理论进 行分析。 但实际上，湍流是不均匀的。
w tdiv(w u) 1 p zvdiv(gradw ) (2c)
定义时均量
为了考察脉动的影响，目前广泛采用的是时间平均法，即 把湍流运动看做由两个流动叠加而成，一是时间平均流动， 二是瞬时脉动流动。这样，将脉动分离出来，便于处理和
进一步探讨。现在，引入Reynolds平均法，任一变量的时
间平均定义为：
无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和N-S方程对
于湍流的瞬时运动仍然是适用的。在此，考虑不可压流 动，使用笛卡尔坐标系，速度矢量在x、y和z方向的分量 分别为u、v和w，写出湍流瞬时控制方程如下：
diuv0
(1)
u tdiv(uu) 1 p xvdiv(gradu)
(2a)
v tdiv(vu) 1 p yvdiv(gradv) (2b)
湍流流动的两个例子
Smaller Structures
Larger Structures
湍流涡的特点
观测表明，湍流带有旋转流动结构，这就是湍流涡 （turbulent eddies），简称涡（eddy）。
从物理结构上看，可以把湍流看成是由各种不同尺寸的涡 叠合而成的流动，这些涡的大小和旋转轴的方向分布是随 机的。
• 所谓的涡粘模型，就是把μt 与湍流时均参数联系 起来的关系式。依据确定μt的微分方程的数量的多 少，涡粘模型包括：
※零方程模型 ※一方程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型 ※两方程模型
目前两方程模型在工程中使用最为广泛，最基 本的两方程模型就是标准k-ε模型，即分别引入关 于湍流动能k和湍流耗散率ε的方程。此外，还有各 种改进的k-ε模型，其中比较著名的是RNG k-ε模型 和Realizable k-ε模型。
t
xj
xj
xj
uj
''S
（12） （13） （14）
二、湍流的数值模拟方法简介
1、三维湍流数值模拟方法的分类
湍流数值模拟方法可以分为直接数值模拟方法和非直接数 值模拟方法。 所谓直接数值模拟方法是指求解瞬时湍流控制方程。 非直接数值模拟方法就是不直接计算湍流的脉动特性，而 是设法对湍流做某种程度的近似和简化处理，例如前面提 到的时均性质的 Reynolds方法就是其中的一种典型方法。 根据依赖所采用的近似和简化方法不同，非直接数值模拟 方法分为大涡模拟、统计平均法和Reynolds平均法。
用瞬时的N-S方程直接模拟湍流中的大尺度涡，不 直接模拟小尺度的涡，而小涡对大涡的影响通过近似的 模型来考虑。
LES方法对计算机内存及CPU速度要求仍然很高， 但是低于DNS法。
4、Reynolds平均法（RANS）简介
虽然瞬时N-S方程可以描述湍流，但是N-S方程的非线 性使得用解析方法精确描写三维时间相关的全部细节极端 困难。从工程应用的观点来看，重要的是湍流所引起的平 均流场的变化，是整体效果。 Reynolds平均法的核心不是直接求解瞬时的N-S方程， 而是想办法求解时均化的Reynolds方程，这样不仅可以避 免DNS方法计算量大的问题，而且能够满足工程实践应用 要求。
x j
2 3
ij
g
jY
s
DT
Y s x j
T y
Y s x j
q
jc pT
T
T x j
T T
T x j
湍流粘度的特点
湍流动力粘度t和湍流运动粘度t与层流中的和不同，
后者是物性参数，由物质的分子决定的，而前者由流动特 性所决定，依赖于流场中各点的湍流状态
Boussinesq并没有直接建立起求解t和t的公式，但从式 （15）中可以看出，t或t正比于速度的一种值
2、直接数值模拟（DNS）简介
直接数值模拟方法就是直接用瞬时的N-S方程对湍流进行 计算，其最大的好处是无需对湍流流动做任何简化或近似， 理论上能得到相对准确的计算结果。 但是，DNS要求网格划分的非常细，对计算机内存空间及 计算速度要求非常高，目前还无法用于真正意义上的工程 计算。
3、大涡模拟（LES）简介
零方程模型
所谓零方程模型就是不使用微分方程，而是用代数关系式，
把湍流粘度与时均值联系起来的模型，它只用湍流的时均 连续方程和Reynolds方程组成方程组，把方程组中的 Reynolds应力用平均速度场的局部速度梯度来表示。