共同度这个指标以观测量为中心，其意义在于说明如果用公共 因子替代观测变量后，原来的每个变量的信息被e）
因子贡献（Contributions）
一个因子的特征值等于因子负荷矩阵中该变量所在列的所有元素的平方和，表 示该因子所能解释的方差。因子Fj所能解释的方差所占的比例叫做该因子的贡 2 2 2 献率。其计算公式为： F1 X1 X2 X3 X4 X5 特征值： Fj贡献率： 0.9562 0.8735 0.1744 0.5675 0.8562 2.7628 0.552 F2 0.2012 0.2896 0.8972 0.7586 0.3315 1.614684 0.323 h i2 0.9548 0.8469 0.8354 0.8975 0.8430
解释作用。
2.巴特勒球形检验（Bartlett’s test of sphericity）
该统计量从检验整个相关矩阵出发，其零假设为相关矩阵是单位阵（我们一般将 对角元素为1，其余元素为0的矩阵称为单位阵）。如果检验的结果无法拒绝零 假设，那么，因子分析的使用就可能是不适当的，应该重新考虑。 Barlett球形检验呈现显著 表示相关系数足以作为 因子分析抽取之用
假如我们得到了5个观测变量、2个公共因子的情形：
X1=0.9562F1+0.2012F2+0.2126U1 X2=0.8735F1+0.2896F2+0.3913U2
X3=0.1744F1+0.8972F2+0.4057U3
X4=0.5675F1+0.7586F2+0.3202U4 X5=0.8562F1+0.3315F2+0.3962U5
因子分析的基本假设，是因子隐含在许多可观察的现实事物的背后。虽然难以 直接测量，但是可以从复杂的外在现象中计算、估计。
其数学原理的共变的抽取。也就是说，受到同一个因子影响的测量分数，共
同相关的部分就是因子所在的部分。因子的提取也是根据共同相关的得分而
决定。
探索性因子分析（Exploratory Factor Analysis ;EFA）
观测变量不适合做因子分析。
通常按以下标准解释该指标的大小：
KMO统计量 0.90以上 0.80以上 0.70以上
0.60以上 0.50以上 0.50以下
因子分析适合性 极佳 良好 中度
平庸 可悲 无法接受
KMO與 Bartlett檢 定 Kaiser-Meyer-Olkin 取 樣 適 切 性量 數 。 Bartlett 球 形 檢 定 近 似 卡 方 分配 自由度 顯著性 .879 5569.703 45 .000
X i ai1 F1 ai 2 F2 ai 3 F3 aim F mU i
上式中，F1，F2，……Fm叫公共因子（Common factors），它们是 各个观测变量所共有的因子，解释了变量之间的相关。
Ui称为特殊因子(Unique factor)，它是每个观测变量所特有的因子，相 当于多元回归中的残差项，表示该变量不能被公共因子所解释的部分。
因子的抽取(Factor extraction)
因子抽取的目的在于决定测量变量中，存在着多少个潜在的成分或因子。
一类是基于主成分分析模型的主成分法。在因子分析 着占重要地位。 方法 一类是基于公共因子模型的公因子法，包括主轴因子法、极 大似然法、最小二乘法、alpha法等。
因子分析（Fact Analysis）
因子分析是多元统计技术的一个分支，其目的是浓缩数据。它通过研究众多
变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想
变量（公共因子）来表示基本的数据结构。这些假想变量能够反映原来众多 的观测变量所代表的主要信息，并解释这些观测变量之间的相互依存关系， 将这些假想变量称为基础变量，即因子（Factors）。
3.KMO(kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy)测度
该测度从比较观测变量之间的简单相关系数和偏相关系数的相对大小出发， 其值的变化范围从0~1。当所有变量之间的偏相关系数的平方和，远远小于简 单相关系数的平方和时，KMO值接近1。KMO值较小时，表明
如果“自尊”用Y来表示，其他10个选项的分数以X1到X10表示，则Y的得分可以 用以下数学模型预测得到： Y =b1X1 + b2X2 + b3X 3 + …… + b10X10 + U
因子分析中的因子负载（负荷）
因子负荷是因子分析中的最重要的统计量，它是连接观测变量和公共因 子之间的纽带。因子负荷不仅表示观测变量如何由因子线性表示的，而 且也反映了因子和变量之间的相关关系。
Fj的贡献率 （a1 j a2 j a pj） / p( j 1,2, m)
表明第一个因子F1解释了所有变量总方差的55%，第二个变量解释了上述总方差的 32%，两个因子一共解释了总方差的87%。
因子分析的主要步骤：
第一步：计算所有变量的相关矩阵。相关矩阵是因子分析直接要用的 数据，根据相关矩阵还应该进一步判断应用因子分析方法是否合适。 第二步：提取因子。这一步是确定因子的个数和求因子解的方法。 第三步：是进行因子旋转。这一步的目的是通过坐标轴变换使因子解的 实际意义更容易解释。 第四步：计算因子值。因子值是各个因子在每个观测量上的得分，有了 因子值可以在其他的分析中使用这些因子。
可以看出，公共因子F1与变量X1、X2、X4、X5关系密切，它主要代表了 这些变量的信息。F2与变量X3、X4关系密切，它主要代表了这两个变量的 信息。
公共因子方差（Communality），或共同度
指观测变量方差中由公共因子决定的比例。变量的方差由两部分组成，一部分由 公共因子决定，一部分由特殊因子决定（即残差）。公共因子方差表示原始变量 方差能被公共因子所解释的部分，共同度越大，变量能被因子说明的程度越高。
前提是观测变量之间应该有较强的相关关系。如果变量之间的相关程度很小的 话，他们不可能共享因子。所以，计算出相关矩阵后，应对相关矩阵进行检验， 如果相关矩阵的大部分相关系数都小于0.3，则不适合做因子分析。 SPSS提供了三个统计量帮助判断观测数据是否适合做因子分析。
1.反映象相关矩阵（ Anti-image correlation matrix） 其元素等于负的偏相关系数。 偏相关是控制其他变量不变， 一个自变量对因变量的独特 如果数据中确实存在公共因子，变量之间 的偏相关系数应该很小，因为它与其他变 量重叠的解释影响被扣除掉了。所以如果 反映象相关矩阵中很多元素的值比较大， 应该考虑该观测数据不适合做因子分析。
因子分析就是研究如何以最少的信息丢失把众多的观测变量浓缩为少数几个因 子的过程。
寻求基本结构、检验结构效度——
两个主 要应用 在多元分析中，经常碰到观测变量很多且变量之间存在 着较强的相关关系的情形，这不仅给问题的分析和描述 带来一定困难，而且在使用某些统计方法时会出现问题。
数据简化——
通过因子分析把一组观测变量化为少数几个因子后， 可以进一步将原始观测变量的信息转换成这些因子的 因子值，然后用这些因子代替原来的观测变量进行其 他统计分析，如回归分析、路径分析、判别分析和聚 类分析，利用因子值也可以直接对样本进行分类和综 合评价。
抽样的过程必须具有随机性，并具有一定的规模。
如果研究的总体具有较高的同质性（如学生样本），变量数目不多，样本数 可以介于100~200之间；Gorsuch（1983）建议样本数最少为变量数的5倍，
且大于100。
因子分析的原理
1.因子分析模型
因子分析模型在形式上和多元回归模型相似，每个观测 变量由一组因子的线性组合来表示。
.879 5569.703 45 .000
KMO與 Ba rtlett檢 定 Kais er-Meyer-Olkin 取 樣 適 切 性量 數 。 Bartlett 球 形 檢 定 近 似 卡 方 分配 自由度 顯著性
另外，需要注意的是，随着样本量的增加，巴特勒球形检验对检验出变量间 的相关也会变得更为敏感。
一个原始变量的共同度等于因子负荷矩阵中该变量所在行的所有元素的平方和。 对上例，计算出每个变量的公共因子方差为： F1 X1 X2 X3 X4 X5 0.9562 0.8735 0.1744 0.5675 0.8562 F2 0.2012 0.2896 0.8972 0.7586 0.3315 hi2=ai12+ai22+……+aim2 （i=1,2,……p） h i2 0.9548 0.8469 0.8354 0.8975 0.8430 表明F1和F2两个因 子解释了X1变量 信息的95.48%。
测变量与其相对应因子的强度，即因子负荷值或负载值（factor
loading），以说明因子与所属的观察变量的关系与强度。 第三步：决定因子的内容，为因子取一个合适的名字。
變數Xi
2 ij
2 ij
因素fj
因子分析的条件
因子分析的变量都必须是连续变量，符合线性相关的假设。
顺序与类别变量不得使用因子分析简化结构。
一般说来，研究者事先对观测数据背后存在多少个因子、因子如何抽取、 因子的内容以及变量的分类等一无所知，未有任何事前的假定，而由因 子分析的过程来决定。 这种类型的应用称为探索性因子分析（EFA），因子分析的大部分应用 都属于这种类型。
证实性因子分析（Confirmatory Factor Analysis ;CFA）
有的情况下，研究者根据某些理论或其他先验知识可能对因子的个数
或因子的结构作出假设，因子分析也可以用来检验这个假设，作为证
实假设的工具，这种类型的应用称为证实性（CFA）因子分析。
探索性因子分析步骤
第一步：通过共变关系的分解，找出最低限度的主要成分 （principal component）或共同因子（common factor）。 第二步：探讨这些主成分或共同因子与个别的变量的关系，找出观