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文档之家› 高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列、排列数公式课件 苏教版选修2-3
高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列、排列数公式课件 苏教版选修2-3
[小组合作型]
排列的概念 判断下列问题是否为排列问题. (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回 的票价相同); (2)选 2 个小组分别去植树和种菜; (3)选 2 个小组去种菜; (4)选 10 人组成一个学习小组;
(5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员; (6)某班 40 名学生在假期相互通信. 【精彩点拨】 判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时,是否 与顺序有关.若与顺序有关,就是排列问题,否则就不是排列问题. 【自主解答】 (1)中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的, 不存在顺序问题,所以不是排列问题. (2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题. (3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题.
(2)由题意作树形图,如图.
故所有的排列为:abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd, bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb, 共有 24 个.
在排列个数不多的情况下,树形图是一种比较有效的表示方 式.在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为 分类标准进行分类,在每一类中再按余下的元素在前面元素不变 的情况下确定第二个元素,再按此元素分类,依次进行,直到完 成一个排列,这样能不重不漏,然后按树形图写出排列.
阶
阶
段
段
一
三
1.2 排列
第 1 课时 排列 排列数公式
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.理解排列的意义,并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所 有排列.(重点)
2.掌握排列数公式及其推导方法,并能运用排列数公式进行运算或 证明.(重点、难点)
[基础·初探] 教材整理 1 排列的概念 阅读教材 P11“例 1”以上部分,完成下列问题. 一般地,从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定的__顺__序__排成 一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
[再练一题] 3.求 3A8x=4Ax9-1中的 x. 【导学号:29440004】 【解】 原方程 3A8x=4Ax9-1可化为38×-8x!!=140×-9x!!, 即38×-8x!!=10-x4×99-×x8!8-x!,化简, 得 x2-19x+78=0,解得 x1=6,x2=13. 由题意知xx-≤18≤,9, 解得 x≤8. 所以原方程的解为 x=6.
种数就是排列数 A2n.由分步计数原理知完成上述填空共有 n(n-1)种填法,所以 A2n=n(n-1).
探究 3 你能写出 Anm的值吗?有什么特征?若 m=n 呢? 【提示】 Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m,n∈N*,m≤n). (1)公式特征:第一个因数是 n,后面每一个因数比它前面一个少 1,最后一 个因数是 n-m+1,共有 m 个因数; (2)全排列:当 n=m 时,即 n 个不同元素全部取出的一个排列. 全排列数:Ann=n(n-1)(n-2)·…2·1=n!(叫做 n 的阶乘). 另外,我们规定 0!=1. 所以 Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n-n!m!=AAnn- -nnmm.
(2)证明:∵Amn+1-Amn =n+n+1-1m!!-n-n!m!
=n-n!m!·n+n+1-1 m-1 =n-n!m!·n+1m-m
=m·n+1n-!m!
∴Amn+1-Amn
=mAmn -1, =mAmn -1.
排列数的计算方法 1.排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,应用 时注意:连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的是排 列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这 是排列数公式的逆用. 2.应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后, 再提取公因式,然后计算,这样往往会减少运算量.
探究 2 由探究 1 知 A24=4×3=12,A34=4×3×2=24,你能否得出 A2n的意 义和 A2n的值?
【提示】 A2n的意义:假定有排好顺序的 2 个空位,从 n 个元素 a1,a2,…, an 中任取 2 个元素去填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列; 反过来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到,因此,所有不同的填法的
教材整理 2 排列数与排列数公式
阅读教材 P13~P14,完成下列问题. 排列数定 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有_排__列__的__个__数__,叫 义及表示 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 Amn 表示 全排列的
概念 n 个不同元素_全__部__取__出__的一个排列
(5)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序 问题,属于排列问题.
(6)A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问 题.所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题.
1.解决本题的关键有两点:一是“取出元素不重复”,二 是“与顺序有关”.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的排列.( ) (2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛,共有多少种选法 属于排列问题.( ) (3)有十二名学生参加植树活动,要求三人一组,共有多少种分组方案属于 排列问题.( ) (4)从 3,5,7,9 中任取两个数进行指数运算,可以得到多少个幂属于排列问 题.( ) (5)从 1,2,3,4 中任取两个数作为点的坐标,可以得到多少个点属于排列问 题.( )
所以符合题意的所有排列是: BADC,BACD,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CBAD,CBDA, CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA 共 14 种. 【答案】 (1)12 (2)14
[探究共研型]
排列数公式的推导及应用 探究 1 两个同学从写有数字 1,2,3,4 的卡片中选取卡片进行组数字游戏. 从这 4 个数字中选出 2 个或 3 个分别能构成多少个无重复数字的两位数或 三位数? 【提示】 从这 4 个数字中选出 2 个能构成 A24=4×3=12 个无重复数字的 两位数;若选出 3 个能构成 A34=4×3×2=24 个无重复数字的三位数.
(1)计算:AA16590-+AA14950; (2)证明:Amn+1-Anm=mAmn -1. 【精彩点拨】 第(1)题可直接运用排列数公式,也可采用阶乘式;第(2)题 首先分析各项的关系,利用 Anm=n-n!m!进行变形推导. 【自主解答】 (1)法一:AA61590+-AA49150=505AA4949-+1A049A49=550+ -110=230. 法二:AA16590-+AA14950=14940!! ! !+ -9515! ! 0!!=55××190! !+ -91! 0!=46××190!!=230.
Байду номын сангаас
排列的列举问题 写出下列问题的所有排列. (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位 数? (2)写出从 4 个元素 a,b,c,d 中任取 3 个元素的所有排列. 【精彩点拨】 (1)直接列举数字. (2)先画树形图,再结合树形图写出.
【自主解答】 (1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有 12 个不同的两位数.
2.判断一个具体问题是否为排列问题,就看取出元素后排 列是有序的还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换元素 的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决 定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不 是排列问题.
[再练一题] 1.判断下列问题是否是排列问题. (1)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标,可 得多少个不同的点的坐标? (2)从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会,有多少种不同的抽取方 法? (3)某商场有四个大门,若从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来, 不同的出入方式共有多少种?
故符合题意的机票种类有:
北京→广州,北京→南京,北京→天津,广州→南京,广州→天津,广州 →北京,南京→天津,南京→北京,南京→广州,天津→北京,天津→广州, 天津→南京,共 12 种.
(2)因为 A 不排第一,排第一位的情况有 3 类(可从 B,C,D 中任选一人排), 而此时兼顾分析 B 的排法,列树形图如图.
【解析】 (1)× 因为相同的两个排列不仅元素相同,而且元素的排列顺 序相同.
(2)√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法,每种选法与“顺序” 有关,属于排列问题.
(3)× 因为分组之后,各组与顺序无关,故不属于排列问题. (4)√ 因为任取的两个数进行指数运算,底数不同、指数不同、结果不同.结 果与顺序有关,故属于排列问题. (5)√ 因为纵、横坐标不同,表示不同的点,故属于排列问题. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
特殊情况 Ann=__n_!,A0n=_1__,0!=1__
1.A24=________,A33=________. 【解析】 A24=4×3=12;
A33=3×2×1=6.
【答案】 12 6
2.5A!34 =________. 【解析】 5A!34 =5×44× ×33× ×22×1=15.
【答案】
1 5
3.由 1,2,3 这三个数字组成的三位数分别是________. 【解析】 用树形图表示为
由“树形图”可知组成的三位数为 123,132,213,231,312,321,共 6 个. 【答案】 123,132,213,231,312,321
[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________