2021届高三第一学期入学调研试卷理科数学（1）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 的实部与虚部分别为1-，2，则2z =（ ） A ．34i --B ．34i -+C ．34i +D ．34i -2．设集合2{|4}A x x =<，{|2,}xB y y x ==∈R ，则A B =（ ）A ．(2,2)-B ．(0,2)C ．(2,)+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞3．若函数()lg()f x x a =+的图象经过抛物线28y x =的焦点，则a =（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2-4．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60︒，则下列向量是单位向量的是（ ） A ．+a bB ．12-a b C ．12+a b D ．-a b5．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2B C =，则b =（ ） A ．cos c CB ．cos c AC ．2cos c CD ．2cos c A6．设x ，y 满足约束条件2602x y x y x+-≤⎧⎨≤≤⎩，则z x y =+的取值范围为（ ）A ．[90,]2B ．[94,]2C ．[0,4]D ．[4,)+∞a 0a 2的两位数记为()I a ，按从大到小排成的两位数记为()D a (例如75a =，则()57I a =，()75D a =)，执行如图所示的程序框图，若输入的51a =，则输出的b =（ ）A ．30B ．35C ．40D ．458．已知2211()11x x f x x--=++，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ） A ．y x =-B ．y x =C ．2y x =D ．2y x =-9．sin cos()6πx x -+=（ ）A ．11sin(224π)6x +- B ．11sin(224π)6x -+ C ．11sin(222π)3x -+ D ．13sin(224π)3x +- 10．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．160359B ．289359C ．1191077D ．958107711．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为侧棱1DD 上一点，1AB =，12AA =，且异面直线DB 与1C E 26，则DE =（ ） A ．12B ．23C ．1D ．3212．设F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若FOH △的内切圆与x 轴切于点B ，且2BF OB =，则C 的离心率为（ ）A ．3174+ B ．4174+ C ．33178+ D ．33174+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．6()3y x -的展开式中5x y 的系数为 ．14．已知函数()sin f x x =，若()()f a x f a x +=-，0πa <<，则a = ．15．如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 ．16．已知函数22(()log )f x x a x =+是R 上的奇函数，函数()|2 |g x m x a =--，若()()f x g x ≤对3[,2]4x ∈-恒成立，则m 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，1(2)n n a a d n -=+≥，其中d 是不为0的常数，且1a ，2a ，6a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若55m S m ，求m ．18．（12分）下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位：罐)的雷达图．（1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销量更好； （2）从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动，中奖率为0.1，中奖可获得1元的红包，以雷达图中一周的销量代替每周的销量． ①活动期间，一位顾客买了3罐百事可乐，他恰好获得2元红包的概率； ②在这连续三周的活动中，求该超市需要投入红包总金额的数学期望．19．（12分）在直角坐标系xOy 中，已知(1,2)P x y -，(1,2)Q x y +，且3OP OQ ⋅=，记动点(,)M x y 的轨迹为Ω．（1）求Ω的方程；（2）若过点(1,0)N 的直线l 与Ω交于A ，B 两点，且2BN NA =，求直线l 的斜率．20．（12分）如图，在四面体ABCD 中，AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，22AB BC AC ==，且4AD BC +=．（1）证明：BC ⊥平面ABD ；（2）设E 为棱AC 的中点，当四面体ABCD 的体积取得最大值时，求二面角C BD E --的余弦值．21．（12分）已知函数2()(2)ln f x a x ax x =++-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在(0,)a 上存在最大值()P a ，证明：234ln 2()42p a a a <<+-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线C 与曲线D 关于极点对称． （1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线D 的直角坐标方程； （2）设P 为曲线D 上一动点，记P 到直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|1||2|f x x x =-++，且不等式()f x k <的解集为{|3}x x a -<<． （1）求k ，a ；（2）若m n k +=，证明：()()12f m f n +≥．2021届高三入学调研试卷理 科 数 学（一）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】∵12i z =-+，∴2144i 34i z =--=--． 2．【答案】B【解析】∵(2,2)A =-，(0,)B =+∞，∴(0,2)A B =．3．【答案】C【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为(2,0)，则(2)lg(2)0f a =+=，即21a +=，解得1a =-． 4．【答案】D【解析】由平面向量的减法可得-a b 的模为1，则-a b 是单位向量． 5．【答案】C【解析】∵2B C =，∴sin sin22sin cos B C C C ==，∴2cos b c C =． 6．【答案】A【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示， 当直线z x y =+过点(0,0)时，z 取得最小值0；直线z x y =+过点3(,3)2时，z 取得最大值92， 故9[0,]2z ∈．7．【答案】D【解析】51a =，511536b =-=；36a =，633627b =-=；27a =，722745b =-=， ∵45为5的倍数，∴输出的45b =． 8．【答案】C【解析】令11x t x -=+，则11t x t -=+，22211()21()111()1t t t f t t t t--+==-+++， ∵2222)))(11((t f t t -'=+，∴(0)2f '=，∵(0)0f =，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =． 9．【答案】B【解析】31sin cos()sin cos()sin (sin )62π6π2x x x x x x x -+=-=+ 31112(1cos 2)sin(2)2π464x x x =+-=-+． 10．【答案】D【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为x ，y ， 则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095817C C 107-=．11．【答案】A【解析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，1(0,1,2)C ，则(1,1,0)DB =， 设(02)DE t t =<≤，则1(0,1,2)C E t =--， 从而1226,|21(|s 2)co DB C E t 〉==+-〈 ∵02t <≤，∴12t =． 12．【答案】C【解析】∵F 到渐近线的距离为||FH b =，∴22||OH c b a =-=， 则FOH △的内切圆的半径2a b cr +-=， 设FOH △的内切圆与FH 切于点M ，则||2a b cMH r +-==， ∵2BF OB =，∴2||||3FM BF c ==，∴2||||||32a b c BF MH c FH b +-+=+==， 即33b a c =+，则22222)99(69b c a c ac a =-=++，∴24390e e --=，∵1e >，∴3317e +=第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】2-【解析】6()3yx -的展开式中5x y 的系数为161C()23-=-．14．【答案】π2【解析】∵()()f a x f a x +=-，∴()f x 的图象关于直线x a =对称，又()sin f x x =，且0πa <<，∴π2a =． 15．【答案】2【解析】设该圆锥的半径与高分别为r ，h ，则32141ππ233r r h ⨯=，即2h r =， 该圆锥的母线与底面所成角的正切值为2hr=． 16．【答案】[7,)2+∞【解析】由22(()log )f x x a x =+-是R 上的奇函数，得2(0)log ()0f a ==，则1a =， 因为2222()log 1)log 1(f x x x x x=+-=++在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 是R 上的减函数，作出()f x 与()g x 的图象，如图所示，由图可知33()()44(2)(2)f g f g ⎧-≤-⎪⎨⎪≤⎩，即2512log (52)3m m ⎧≤-⎪⎨⎪-≤-⎩，则72m ≥．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）32n a n =-；（2）37m =．【解析】（1）∵1(2)n n a a d n -=+≥，∴数列{}n a 是公差为d 的等差数列， ∵37a =，∴172a d =-，27a d =-，673a d =+， ∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴2(72)(73)(7)d d d -+=-， ∴23d d =，∴3d =或0d =，∵0d ≠，∴3d =，7(3)332n a n n =+-⨯=-． （2）∵1(552)m m m a a S m +==，∴1110m a a +=，即32109m -=，∴37m =． 18．【答案】（1）百事可乐销量的平均数为9607，可口可乐销量的平均数为9407，百事可乐的销量更好；（2）①0.027；②570元．【解析】（1）百事可乐销量的平均数为110012012014016014018096077x ++++++==，可口可乐销量的平均数为28012010014018014018094077x ++++++==，∵12x x >，∴百事可乐的销量更好．（2）①他恰好获得2元红包说明他有两次中奖一次未中奖，故所求的概率为2230.1(10.1C )0.027⨯-=．②连续三周该超市罐装可乐（仅限百事可乐或可口可乐）的销量为(960940)3190035700+⨯=⨯=罐，记连续三周顾客中奖总次数为X ，则(5700,0.1)XB ，则57000.1570EX =⨯=，故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为5701570⨯=元．19．【答案】（1）2214x y +=；（2）156k =±．【解析】（1）∵3OP OQ ⋅=，∴2(1)(1)43x x y -++=，∴2244x y +=，即214y +=，此即为Ω的方程． （2）设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-，当0k =时，3BN NA =或13BN NA =，不合题意； 当0k ≠时，由22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得222(1420)3k y ky k ++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122214k y y k+=-+，2122314k y y k =-+， ∵2BN NA =，22(1,)BN x y =--，11()1,NA x y =-，∴212y y =-，∴1212214k y y y k +=-=-+，22123214k y k -=-+，∵10y ≠，∴2512k =，∴15k =．20．【答案】（1）证明见解析；（230． 【解析】（1）证明：因为AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD平面ABC AB =，AD ⊂平面ABD ，∴AD ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥， 因为22AB BC AC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥， 因为ADAB A =，所以BC ⊥平面ABD ．（2）设(04)AD x x =<<，则4AB BC x ==-，四面体ABCD 的体积232111()(4)(816)(04)326V f x x x x x x x ==⨯-=-+<<， 211()(31616)(4)(34)66f x x x x x '=-+=--，当403x <<时，()0f x '>，()V f x =单调递增；当43x <<时，()0f x '<，()V f x =单调递减， 故当43AD x ==时，四面体ABCD 的体积取得最大值， 以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，8(0,,0)3A ，8(,0,0)3C ，84(0,,)33D ，44(,,0)33E ，设平面BCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即80384033x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令2z =-，得(0,1,2)=-n ，同理，平面BDE 的法向量为(1,1,2)=-m ，30cos ,656〈〉==-⨯m n ， 由图可知，二面角C BD E --为锐角，故二面角C BD E --的余弦值为306． 21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）2(1)(22)()2(0)a x x a f x a x x x x++--'=+-=->， 当2a ≤-时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当2a >-时，由()0f x '>，得202a x +<<，()f x 在(20,)2a +上单调递增；由()0f x '<，得22a x +>，()f x 在2,)2(a ++∞上单调递减． （2）易知0a >，当02a <≤时，22a a +≥， 由（1）知，()f x 在(0,)a 上单调递增，此时()f x 在(0,)a 上不存在最大值，当2a >时，()f x 在(20,)2a +上单调递增，在(2,)2a a +上单调递减， 则22m x22(2)224()()(2)ln ()(2)ln 222224a a a a a a a a f x f a a +++++-==++-=++，故224()(2)ln (2)24a a p a a a +-=++>， 设224()(2)ln(2)24x x g x x x +-=++>，2()1ln 22x x g x +'=++， ∵2x >，∴()0g x '>，∴()g x 在(2,)+∞上单调递增， ∴()(2)4ln 2g x g >=，即()4ln 2p a >，∵2314(34)(2)22a a a a +-=-+，且2a >， ∴要证：23()42p a a a <+-，只需证2234ln 242a a a +--+<， 即证256ln024a a +--<， 设256()ln(2)24x x h x x +-=->，则15()024h x x '=-<+， 则()h x 在(2,)+∞上单调递减，从而()(2)ln 210h x h <=-<，即256ln024a a +--<， 则23()42p a a a <+-，从而234ln 2()42p a a a <<+-． 22．【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）722-【解析】（1）∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，即22(2)4x y -+=，∴曲线D 的直角坐标方程为22(2)4x y ++=．（2）由（1）可设(22cos ,2sin )P αα-+，[0,2π)α∈，直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的直角坐标方程分别为3y =-，2x =， 从而12sin 3d α=+，22(22cos )42cos d αα=--+=-，122sin 342cos 722)π(4d d ααα+=++-=+-，故12d d +的最小值为722-23．【答案】（1）5k =，2a =；（2）证明见解析． 【解析】（1）当2x ≤-时，由()21f x x k =--<，得12k x +>-， 因为不等式()f x k <的解集为{|3}x x a -<<，所以132k +-=-，解得5k =， 当1x ≥时，由() 2 15f x x =+<，得2x <，所以2a =， 经检验5k =，2a =满足题意．（2）证明：因为|1||2||12||21|m m m m m -++≥-++=+，所以()|21|f m m ≥+， 同理()|21|f n n ≥+， 因为5m n k +==，所以()()|21||21||2121||2()2|12f m f n m n m n m n +≥+++≥+++=++=．。