知识点五：函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以
x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；
(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；
(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．
例6 （1）已知f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1
x
2，求f (x )的解析式；
(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．
变式．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；
(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．
例7 已知2f （1/x ）+f （x ）=x(x ≠0) 。
求f （x ）
变式 已知f （1/x ）+af （x ）=ax(x ≠0，a ≠±1) 。
求f （x ）
函数单调性与最大（小）值
知识点一 增函数、减函数、单调性、单调区间的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间
如果对于内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间上是增函数；
如果对于内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在区间上是减函数.
如果函数f(x)在区间D 上是增函数或者减函数，那么函数f(x)在这一区间上具有严格的单调性，区间D 叫做函数的单调区间。
知识点二：常见函数的单调性
（1）一次函数的单调性：对函数y ax b =+(0)a ≠ 当0>a 时，函数)(x f 单调增加； 当0<a 时，函数)(x f 单调减小. （2）反比例函数单调性：对函数(k 0)k
y x
=
≠
当0k >时，函数)(x f 单调减小； 当0k <时，函数)(x f 单调增加.
（3）二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2
)()0(≠a ，
当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b
x 2-
=的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0<a 时函数)(x f 在对称轴a
b
x 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小
知识点三：单调性的证明 1）定义法
(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论.
2）.图象法：借助图象直观判断． 3）.复合函数单调性判断方法：设
若内外两函数的单调性相同，则在x 的区间D 内单调递增， 若内外两函数的单调性相反时，则在x 的区间D 内单调递减． （同增异减）
知识点四：最大（小）值
.
【典型例题】
考点1.根据图像判定函数单调性
【例1】右图是定义在闭区间[－5, 5]上的函数y ＝f(x)的图象，根据图象说出y
＝f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上， y ＝f(x)是增函数还是减函数．
【变式1】如图是定义在闭区间 [-5，6]上的函数y ＝f(x)的图象，根据图象说出
函数y ＝f(x) 的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y ＝f(x)是增函数还是减函数.
考点二.判断函数的单调性 【例2】写出下列函数的单调区间
（1）
（2）3422
--=x x y ； （3）||2)(2x x x f -=； （4） |2|)(2x x x f -=
【例3】下列函数中，在区间)2,0(上递增的是（ ） A ．x
y 1= B ．x y -= C ．1-=x y D ．122
++=x x y
【变式1】 函数y ＝x 2
－6x ＋10在区间(2,4)上是 （ ） A ．递减函数
B ．递增函数
C ．先递减再递增
D ．先递增再递减
【变式2】讨论函数2
()1f x x =-与f (x )＝x ＋a x
(a >0)的单调性
考点3 用定义法证明函数的单调性
【例4】（1）证明函数2
()+1f x x =在-∞（，0）
上是减函数；
（2）求证：函数11
)(--
=x
x f 在区间)0,(-∞上是单调增函数。
【变式1】证明函数y=2x+5的单调性
【变式2】判断函数f （x ）＝在（1,2）上的增减情况．
考点四 利用单调性求最值 【例5】已知函数2
()2
f x x =
-（(]2,6x ∈），求函数的最大值和最小值.
【变式1】求函数f (x )＝
2x
x ＋1
在区间[1,2]内的最大值和最小值.
考点四 单调性的运用
【例6】函数在上是减函数,则求m 的取值范围 ．
【例7】函数f （x ）是R 上的减函数,求f （a 2
－a ＋1）与f （34 ）的大小关系 ．
【变式1】已知函数上是单调函数，的取值范围是 ．
【变式2】已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是
1．已知映射f:A →B ，在f 的作用下，下列说法中不正确的是( )
A ． A 中每个元素必有象，但
B 中元素不一定有原象 B ． B 中元素可以有两个原象
C ． A 中的任何元素有且只能有唯一的象
D ． A 与B 必须是非空的数集
4．函数的图象与直线的公共点数目是( )
A ．
B ．
C ．或
D ．或
5．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( ) A ． B ． C ． D ． 6．已知，若，则的值是( )
A ．
B ．或
C ．，或
D ．
7．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( ) A ．沿轴向右平移个单位 B ．沿轴向右平移个单位 C ．沿轴向左平移个单位 D ．沿轴向左平移个单位
8. 下列函数中,在区间 ）（2,0上为增函数的是( ).
A ．
B ．
C ．
D ． 9．函数 的增区间是（ ） A ． B ． C ． D ．
10． 在 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．
12．当 时，函数 的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．
12.若函数在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数 在区间（a ，c ）上（ ）
A. 必是增函数
B. 必是减函数
C. 是增函数或是减函数
D. 无法确定
增减性
13.函数在区间单调递增、在区间(]0,∞-上单调递减，则满足＜的x 取值范围是（ ） A ．（，） B ．（，） C ．（，） D ．
14．已知，则的解析式为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
1．函数 ,当 时,是增函数,当 (]2,-∞-∈x 时是减函数,则f(1)=_____________
2.函数f (x ) = x 2
＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 3．设函数则实数的取值范围是_______________． 4．若二次函数的图象与x 轴交于，且函数的最大 值为，则这个二次函数的表达式是_______________．
1．根据下列条件，求函数的解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；
(3)已知f(x-3)=x 2
+2x+1，求f(x+3)； (4)已知；
(5)已知f(x)的定义域为R ，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).。