Xxxxxxxxxxx大学课程论文（2013-2014学年春季学期）论文题目：课程名称：任课教师：班级：学号：姓名：浅谈斐波那契数列摘要：斐波那契数列，又称作黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多•斐波那契（Leonardo Fibonacci）。
本文主要就斐波那契数列的提出与特征进行简要分析，通过举例重点说明斐波那契数列在实际生活当中的表现与应用，进而得到启示。
关键词：斐波那契数列; 特征; 应用Research on Fibonacci sequence(Institute of Technology, China Agricultural University, FENG-Wei) Abstract:Fibonacci sequence, also known as the golden series, referring to such a sequence: 1,1,2,3,5,8,13,21…… this sequence beginning from the third term, each of which equal to the sum of the first two terms. The inventor of Fibonacci series was an Italian mathematician——Leonardo Fibonacci. This tractate focuses on the characteristics of Fibonacci sequence and has a brief analysis, as well as giving examples to analyze the performance and application of Fibonacci sequence in real life, and then get inspirations.Key words:Fibonacci sequence; Characteristics; Application走进斐波那契斐波那契（Leonardo Pisano Fibonacci ，1175年～1259年），意大利数学家，被称作“比萨的列昂纳多”。
是西方第一个研究斐波那契数并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲的数学家；是欧洲黑暗时代以后第一位有影响的数学家；是中世纪最具有影响力的数学家。
斐波那契的父亲威廉是当时某商业团体的外交领事，派驻北非一带。
斐波那契年轻时随父协助其工作，因此有机会接触并学习阿拉伯数字。
斐波那契还从师阿拉伯人，向其学习研究数学习算。
回国后有感使用阿拉伯数字比罗马数字更方便有效，斐波那契前往地中海一带向当时著名的阿拉伯数学家学习。
后又游历地中海沿岸诸国，1202年回意大利后27岁的他将其所学即写成《算经》（亦译作《算盘书》）。
这本书通过在记帐、重量计算、利息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价值，大大影响了欧洲人的思想。
其他数学专著有《几何实践》、《平方数书》等，均对当时数学的发展产生了积极的推动作用。
斐波那契的《算经》，介绍了阿拉伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、立方根的运算方法，这部著作在欧洲大陆产生了极大的影响，并且改变了当时数学的面貌。
《算经》是中世纪欧洲出现的最具有影响力的数学作品之一，是欧洲数学在经历了漫长黑夜之后走向复苏的号角！其中就引进了著名的“斐波那契数列”。
斐波那契数列的提出斐波那契的名字与一个无穷的数列联系在了一起，这个数列用来解决《算经》中提到的一个有趣的“兔子问题”：如果每对兔子每月能繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有了生殖能力，第三个月就生产一对兔子，以后每个月生产一对。
假定每对兔子都是一雌一雄。
试问一对兔子一年能繁殖多少兔子？最开始的那对兔子在第一个月末生出第2对兔子，到第二个月小兔子长大成熟具有繁殖能力，而本月中一开始的那对兔子又生育出新的兔子，使得兔子的总数增加到5对。
每个月末增加的新生兔子的对数应该等于至少两个月大的兔子的总对数。
根据这样的规律，斐波那契确定，到第12个月的月末，共有377对兔子。
其中出现的每一个数都叫做斐波那契数。
若第n 个斐波那契数记为n F ，则：⋯⋯=====5321143210F F F F F ；；；；这个序列有下面的递推关系：）（⋯⋯=+=++2,1,0n n 1n 2n F F F由此出发借助数学归纳法可推得通项公式：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n 25-125151—F 该公式最早由法国数学家比内（Binet ）求出，因此又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
斐波那契数列的特征从上面我们得知“斐波那契数列”各项值为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21……其最显而易见的数列特征为从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
除此之外还有：（1）第 3、第 6、第 9、第 12 项的数字，能够被 2 整除。
（2）第 4、第 8、第 12 项的数字，能够被 3 整除。
（3）第 5、第 10 项的数字，能够被 5 整除。
以此类推。
（4）连续 10 个斐波那契数之和等于第 7 个数的 11 倍。
除此之外，斐波那契数列在数列关系当中也有许多重要的特种：（1）求和：（2） 奇数项求和：偶数项求和：（3）平方求和：（4）和项数公式：（5）奇数项与前后的平方：（6）偶数项与前后的平方：（7）隔项关系：生活中斐波那契数列的体现与应用人类很早就从自然界中看到了数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树的分枝，钢琴音阶的排列以及花瓣对称排列在花托边缘、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称状……所有这一切都向我们展示了美丽的数学模式。
而对这些自然、社会以及生活中的许多现象的解释，最后往往都能归结到斐波那契数列上来。
1.斐波那契数列与植物斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。
例如：树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。
所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。
这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。
这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
植物花瓣数是极有特征的。
多数情况下花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，55…这些数恰好是斐波那契数列的某些项，例如：百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5瓣花瓣；许多翠雀属植物有8瓣花瓣；万寿菊的花瓣有13瓣。
向日葵种子的排列方式也体现出斐波那契数列特征。
仔细观察向日葵花盘，你就会发现两组螺旋线，一组顺时针方向盘旋，另一组则逆时针方向盘旋，并且彼此相嵌。
虽然不同的向日葵品种中，种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这3组数字，这每组数字就是斐波那契数列中相邻的两个数（前一个数字是顺时针盘旋的线数，后一个数字是逆时针盘旋的线数）。
另外许多植物叶片鳞片的排列也是斐波那契数：菠萝果实上的菱形鳞片，一行行排列起来，8行向左倾斜，13行向右倾斜；挪威云杉的球果在一个方向上有3行鳞片，在另一个方向上有5行鳞片；常见的落叶松是一种针叶树，其松果上的鳞片在两个方向上各排成5行和8行；美国松的松果鳞片则在两个方向上各排成3行和5行。
2.斐波那契数列与杨辉三角、黄金分割（1）斐波那契与中国杨辉三角还有重要的联系，在杨辉三角当中也体现出斐波那契数列的存在。
（2）菲波那契数列为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…… 从中我们可以发现，随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……因此“斐波纳契数列”又被称为“黄金分割数列”。
3. 斐波那契数列与“台阶问题”所谓“台阶问题”，是指问到某层台阶时理论上有多少种走法。
解析过程如下： 当只有一个台阶时，只有一种走法，F1=1。
当有两个台阶，走法有2种，一阶一阶或者一步上两个台阶，所以F2=2。
有三个台阶时，走法有一步一阶，2阶再1阶，1阶再2阶，因此，F3=3。
有四个台阶时，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）（2，2），共5种方法，故F4=5。
以此类推，有数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…… 完全符合斐波那契数列的特征。
4. 影视作品中的斐波那契数列斐波那契数列在欧美可谓是人尽皆知，以至于在电影这种通俗艺术中也时常出现。
比如在风靡一时的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现；在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的问题。
由此可见此数列就像黄金分割一样流行，已经成为日常生活的一部分而被人们所接受。
从另一方面来分析，斐波那契数列以其独特的广泛性无时无刻不成为我们生活的主角。
斐波那契与自然、生活、科学上的联系其实还有很多，例如在编程当中菲波那契数列的应用，斐波那契弧线、螺旋线、扇形线在解决数学问题时的重要性以及在日常生活当中的体现，斐波那契数列与蜜蜂的家谱的关系。
本文举例虽少，但是仅仅从这几个例子上我们就可以看出斐波那契数列的应用的广泛性，由此我们可以看到数学其实是无处不在的，它是一门科学，同时也是一种语言，更是一种艺术。
另外，数学与自然、生活相伴相随，共同发展。
将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8 ……写在最后毕达哥拉斯说过：“数学统治着宇宙。
”他之所以这样说的就是因为数学以其不可比拟的广泛性浸入到生活的各个领域当中，并在其中扮演至关重要的角色。
如今，数学已经与其他学科交叉互融，彻彻底底地走入生活当中。
留心处处皆学问。
生活当中的各个细节的背后都可能隐藏着无尽的知识，等着自己去探索。
要养成留心观察生活的好习惯，仔细捕捉生活的细节，留心在平凡生活当中的数学知识，集跬步方可至千里，汇细流方可成汪洋！参考文献【1】艾斯特·K·比斯瓦斯：《斐波那契》，斯克莱布诺出版社，1972年；【2】L.E.西格勒：《斐波那契的<算盘书>》，施普格林出版社，2002年；【3】迈克尔·J布拉德利：《数学的诞生》，上海科学技术文献出版社；【4】张顺燕：《数学的源与流》，高等教育出版社。