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MN 与 EF 互相平分 11．如图， AF 与 BE 互相平分，交点为 M ， EC 与 DF 互相平分，交点为 N ，那么，四边形 ABCD 是平行四边形么？你是怎么判定的？
D
D
C
C
E
E
M A
N B
M A
N B
F
F
解：四边形 ABCD 是平行四边形 证明：连接 AE ， BF ， EF ， DE ， CF
A B B， CD CE
BF CBE C
８．如图，已知： D ， E ， F 分别在 ABC 的各边上， DE∥AF ， DE AF ， 延长 FD 到 G ，使 FG 2FD ．求证： AG 与 DE 互相平分．
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A
A
E
E
F
F
B
C
B
C
D
D
G
G
证明：连接 AD ， EG D ∥E A，FDE AF 四边形 AEDF 是平行四边形 D F A， DF∥AE
N
A
D
N
A
D
F E
B
C
M
F E
B
C
M
证明：连接 EN ， MF
四边形 ABCD 是平行四边形
BC∥AD ， CBD ADB
MEF NFE 90 ， MEB NFD 90
ME∥NF BM DN ME NF
BME DNF ( AAS)
四边形 EMFN 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形）
平行四边形各内角度数分别是 112.5 ， 67.5 ， 112.5 ， 67.5 ２．已知平行四边形 ABCD 的周长为 38 cm ， AC ， BD 相交于 O ，且 AOB
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的周长比 BOC 的周长小于 3 cm ，如图，求平行四边形 ABCD 各边的长 解： 四边形 ABCD 为平行四边形
22. 平行四边形 , 菱形 , 矩形 , 和正方形四者之间的关系
一组邻边相等
平行四边形
一个内角为直角
菱形 矩形
对角线相等 对角线垂直
正方形
23. 梯形定义 : 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 梯形的底 : 梯形中平行的两边叫做梯形的底 , 通常把较短的底叫做
上底 , 较长的底叫做下底 梯形的腰 : 梯形中不平行的两边叫做梯形的腰 梯形的高 : 梯形两底之间的距离叫做梯形的高 等腰梯形 : 两腰相等的梯形 直角梯形 : 一腰垂直于底的梯形
17. 正方形的定义 一组邻边相等的矩形叫做正方形 正方形不仅是特殊的平行四边形 , 而且是特殊的矩形 , 又是特殊的菱 形 18. 正方形的性质 正方形具有平行四边形 , 矩形 , 菱形的一切性质 ①边 : 四边相等 , 对边平行 ②角 : 四个角都是直角 ③对角线 : 互相平分 ; 相等 ; 且垂直 ; 每一条对角线平分一组对角 , 即正
28 ．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位 线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线．梯形中 位线平行于两底，并且等于两底和的一半 梯形辅助线的添法
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（ 图 一） （图三）
（图二）
中点
（图六）
S ABO
S BCO
S CDO S ADO
1 S矩形 ABCD
4
A
D
O
B
C
13. 菱形的定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
14. 菱形的性质
①具有平行四边形的一切性质
②菱形的四条边都相等
③菱形的两条对角线互相垂直 , 并且每一条对角线平分一组对角
④菱形是轴对称图形 , 每条对角线所在的直线都是它的对称轴
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20. 正方形对角线产生的三角形特点 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形 , 两条 对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形 21. 正方形常用的辅助线添加方法 ①正方形中常连对角线 , 把四边形的问题转化为三角形的问题 ②有垂直时做垂线构造正方形 ③有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用 ④利用旋转法将与正方形有关的题目的分散元素集中起来 , 从而为解 决问题创造条件
四边形 BEDF 为平行四边形
BF∥DE
５．如图，已知 O 是平行四边形 ABCD 对角线的交点， AC 38 cm ， BD 24 cm ， AD 14 cm ，那么 OBC 的周长为＿＿＿＿＿
D
C
O
A
B
解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知
BC
AD 14 cm ， OB
1 BD
1 24 12 cm ， OC
O A O， AB CD ， BC AD AOB 的周长＝ OA OB AB BOC 的周长＝ OC OB BC 且 AOB 的周长比 BOC 的周长小于 3 cm
(OC OB BC ) (OA OB BC ) 3 B C A 3B
又 平行四边形 ABCD 的周长为 38 cm
BC AB 19
AB 8 cm ， BC 11 cm CD 8 cm ， AD 11 cm ３．如图，已知：在平行四边形 ABCD 中， BD 是对角线， AE BD 于 E ， CF BD 于 F 求证： AE CF
10. 直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 11. 矩形对角线产生的三角形的特点
矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形 , 两条对角线 把矩形分成四个小的全等的等腰三角形 12. 有关矩形面积的计算
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①面积公式 : 矩形面积 =长 宽
②如图 . 矩形 ABCD 的两条对角线相交于 O , 则
BE CF
A
M
O
D N
E
B
C
F
证明： 四边形 ABCD 为平行四边形
A D∥ B， AB∥CD ， AB CD
D A F ， ADE E ， EDC AMD
D E A， AOM AOD 90
AF 平分 DAB ， DAF BAF
OA O
AOM AOD （ ASA）
AD M
A，M BAF F ， EDC E
证明：连接 AF ， DE DF∥BE ， EF∥AB 四边形 BDFE 为平行四边形， EF BD D 是 AB 中点
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BD AD
AD EF ， AD∥EF
四边形 ADEF 为平行四边形
AE 与 DF 互相平分
10 ．如图，点 M ，N 分别在平行四边形 ABCD 的边 BC ，AD 上，且 BM DN ， ME BD ， NF BD ，垂足分别为 E ， F ，求证： MN 与 EF 互相平分
方形的对角线与边的夹角为 45 ④正方形是轴对称图形 , 有四条对称轴 19. 正方形的判定 ①菱形 +矩形的一条特征 ②菱形 +矩形的一条特征 ③平行四边形 +一个直角 +一组邻边相等 说明一个四边形是正方形的一般思路是 : 先判断它是矩形 , 在判断这 个矩形也是菱形 ; 或先判断它是菱形 , 再判断这个菱形也是矩形
BAF DCE
又 AF CE
AFB CED (SAS)
方法二．连接 BD，交 AC 于 O
在平行四边形 ABCD 中， AO CO ， BO DO
AF CE
OF OE
FOB EOD
BOF DOE （ SAS）
FE
BF∥ DE
D
C E
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F
A
D
O
B
C
E
F
A
D
O
B
C
E
方法三．连接 BD，交 AC 于 O ，连接 DF ， BE 由方法二知． OF OE ， OB OD
24. 梯形的判定
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①判定四边形一组对边平行 , 另一组对边不平行 ②一组对边平行但不相等的四边形是梯形
25. 等腰梯形的性质 ①两底平行 , 两腰相等 ②等腰梯形在同一底上的两个角相等 ③等腰梯形的两条对角线相等 ④等腰梯形是轴对称图形 , 只有一条对称轴 , 一底的垂直平分线是它 的对称轴 26. 等腰梯形的判定 ①两腰相等的梯形是等腰梯形 ②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 ( 以前出现 , 但是在新课标中没有出现的判定方法 : 对角线相等的梯形 是等腰梯形 ) 27. 梯形的面积 面积 =（上底 +下底）×高÷２
A
D
F
E
B
C
证明：方法一： 四边形 ABCD 是平行四边形
AB∥CD ， AB CD
ABE CDF
AE BD ， CF BD
AEB CFD ABE CDF ( AAS) AE CF
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A
D
OF
E
B
C
方法二：连接 AC ，交 BD 于 O 四边形 ABCD 是平行四边形 OA OC ，又 AE BD ， CF BD AEO CFO ，而 AOE COF AEO CFO （ AAS ） AE CF
又 FG 2FD
1 DG DF FG
2
DG AE ，而 DF∥AE 四边形 AEGD 为平行四边形 AG 与 DE 互相平分 ９．如图，已知 D 是 ABC 的边 AB 的中点， E 是 AC 上的一点 DF∥BE ， EF∥AB 试说明： AE 与 DF 互相平分
D B
A F
E C
D B
A F
E C
15. 菱形的判定方法