1推理运算如图，AB 为O 直径，CD 为弦，且CD AB ⊥，垂足为H ．（1）OCD ∠的平分线CE 交O 于E ，连结OE ．求证：E 为ADB 的中点；（2）如果O 的半径为1，CD =，①求O 到弦AC 的距离；②填空：此时圆周上存在 个点到直线AC 的距离为12． 2 如图6，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A 、B 、D 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E .(1) 求证AE =CE ；(2) EF 与⊙O 相切于点E ，交AC 的延长线于点F ，若CD =CF =2cm ，求⊙O 的直径； （3）若n CDCF= （n >0），求sin ∠CAB .3 已知：如图，在半径为4的⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞MC ．连结DE ，DE =(1) 求证：AM MB EM MC ⋅=⋅； (2) 求EM 的长；（3）求sin ∠EOB 的值.4 如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，直线m 与⊙O 相切于点A ，P 为⊙O 上一动点 （与点A 、点B 不重合），PO 的延长线与⊙O 相交于点C ，过点C 的切线与直线 m 相交于点D ．（1）求证：△APC∽△COD．（2）设AP ＝x ，OD ＝y ，试用含x 的代数式表示y ． （3）试探索x 为何值时，△ACD 是一个等边三角形．5 如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A 、与大圆相交于点B ．小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB ． （1）试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； （2）试判断线段AC 、AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（3）若8cm 10cm AB BC ==，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）6 在Rt △ABC 中，BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 与点D ， DE ⊥DB 交AB 于点E ． （1）设⊙O 是△BDE 的外接圆，求证:AC 是⊙O 的切线; （2）设⊙O 交BC 于点F ，连结EF ，求EFAC的值．7 如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t ≥0）．（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米） 与时间t （秒）之间的函数表达式；A BDEOCH A BNM（2）问点A 出发后多少秒两圆相切？8 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，BM 平分∠ABC 交AC 于M ，以A 为圆心， AM 为半径作⊙A 交BM 于N ，AN 的延长线交BC 于D ，直线AB 交⊙A 于P 、K 两点，作MT ⊥BC 于T ．(1)求证：AK ＝MT ； (2)求证：AD ⊥BC ；(3)当AK ＝BD 时，求证：BMACBP BN =．9 如图，为的直径，于点，交于点，于点． （1）请写出三条与有关的正确结论； （2）当，时，求圆中阴影部分的面积．10 如图，已知的直径垂直于弦于点，过点作交的延长线 于点，连接并延长交于点，且．（1）试问：是的切线吗？说明理由； （2）请证明：是的中点； （3）若，求的长．11 如图11，⊙P 与⊙O 相交于A 、B 两点，⊙P 经过圆心O ，点C 是⊙P 的优 弧上任意一点（不与点A 、B 重合），连结AB 、AC 、BC 、OC 。

（1）指出图中与∠ACO 相等的一个角；（2）当点C 在⊙P 上什么位置时，直线CA 与⊙O 相切？请说明理由； （3）当∠ACB=60°时，两圆半径有怎样的大小关系？请说明你的理由。

12 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，连结AD 、BD ．（1）求证：∠ADB =∠E ；（3分）（2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由．（3分） （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．（4分）1 （1）OC OE =，E OCE ∴∠=∠ ················· （1分） 又OCE DCE ∠=∠，E DCE ∴∠=∠．OE CD ∴∥． ···························· （2分） 又CD AB ⊥，90AOE BOE ∴∠=∠=．P BCD T N MAK (第27题ADF E OCBG（第10题图）BA（第12题图）E ∴为ADB 的中点． ························· （3分）（2）①CD AB ⊥，AB 为O 的直径，3CD =，1322CH CD ∴==． ························· （4分） 又1OC =，332sin 12CH COB OC ∴∠===． 60COB ∴∠=， ··························· （5分） 30BAC ∴∠=．作OP AC ⊥于P ，则1122OP OA ==． ················· （6分） ②3 ································· （7分） 2 证明：（1）连接DE ，∵∠ABC =90°∴∠ABE =90°，∴AE 是⊙O 直径． ·················· （1分） ∴∠ADE =90°，∴DE ⊥AC ． ·············· （2分） 又∵D 是AC 的中点，∴DE 是AC 的垂直平分线．∴AE =CE ． ····················· （3分） （2）在△ADE 和△EFA 中，∵∠ADE =∠AEF =90°，∠DAE =∠FAE ，∴△ADE ∽△EFA ． ·················· （4分）∴AE ADAF AE =， ∴AEAE 26=． ·················· （5分）∴AE =23cm ． ···························· （6分） （3） ∵AE 是⊙O 直径，EF 是⊙O 的切线，∴∠ADE =∠AEF =90°， ∴Rt△ADE ∽Rt△EDF ． ∴DFDEED AD =． ··············· （7分） ∵n CDCF=，AD =CD ，∴CF =nCD ，∴DF =（1+n ）CD ， ∴DE =n +1CD ． ···· （8分） 在Rt△CDE 中，CE 2=CD 2+DE 2=CD 2+（n +1CD ） 2=（n +2）CD 2．∴CE =2+n CD ． ·························· （9分） ∵∠CAB =∠DEC ，∴sin∠CAB =si n∠DEC =CE CD=21+n =22++n n ． （103 解：⑴ 连接AC ，EB ，则∠CAM =∠BEM . ……………1分又∠AMC =∠EMB , ∴△AMC ∽△EMB ． ∴EM MBAM MC=，即AM MB EM MC ⋅=⋅．………3分 (2) ∵DC 为⊙O 的直径，∴∠DEC =90°，EC7.== ………………………4分∵OA =OB =4，M 为OB 的中点，∴AM =6，BM =2． …………………………………5分 设EM =x ，则CM =7－x ．代入(1),得 62(7)x x ⨯=-.解得x 1=3，x 2=4．但EM ＞MC ，∴EM=4. …………………………………………7分 (3) 由(2)知，OE =EM =4．作EF ⊥OB 于F ，则OF =MF =41OB =1． ………………8分在Rt △EOF 中，EF =,15142222=-=-OF OE …………………………9分∴sin ∠EOB =415=OE EF . ……………………………………………………………10分 4 （1）∵PC 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线∠PAC ＝∠OCD ＝90°，显然△DOA ≌△DOC ··················· 1分 ∴∠DOA ＝∠DOC ······························ 2分 ∴∠APC ＝∠COD ······························ 3分APC COD ∴△∽△···························· 4分 （2）由APC COD △∽△，得AP OCPC OD=·················· 6分 12x y ∴=，2y x∴= ···························· 7分 （3）若ACD △是一个等边三角形，则6030ADC ODC ∠=∠=， ······· 8分 于是2OD OC =，可得2y =，1x ∴= 故，当1x =时，ACD △是一个等边三角形 ·················· 10分5 解：（1）BC 所在直线与小圆相切，理由如下：过圆心O 作OE BC ⊥，垂足为E ， AC 是小圆的切线，AB 经过圆心O ，OA AC ∴⊥，又CO 平分ACB OE BC ∠⊥，． OE OA ∴=．BC ∴所在直线是小圆的切线． （2）AC BD BC += 理由如下：连接OD ．AC 切小圆O 于点A ，BC 切小圆O 于点E ， CE CA ∴=．在Rt OAD △与Rt OEB △中，90OA OE OD OB OAD OEB ==∠=∠=，，，Rt Rt OAD OEB ∴△≌△（HL ） EB AD ∴=． BC CE EB =+，BC AC AD ∴=+．（3）90BAC ∠=，8106AB BC AC ==∴=，，．BC AC AD =+，4AD BC AC ∴=-=．圆环的面积2222πππ()S OD OA OD OA =-=- 又222OD OA AD -=， 224π16πcm S ∴==．说明：若第（1）、（2）题中结论已证出，但在证明前未作判断的不扣分．6 （1） 证明：由已知DE ⊥DB ，⊙O 是Rt△BDE 的外接圆，∴BE 是⊙O 的直径，点O 是BE 的中点，连结OD ， 1分∵90C ∠=，∴90DBC BDC ∠+∠=． 又∵BD 为∠ABC 的平分线，∴ABD DBC ∠=∠． ∵OB OD =，∴ABD ODB ∠=∠．∴90ODB BDC ∠+∠=，即∴90ODC ∠= ················ 4分 又∵OD 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线． ·············· 5分 （2） 解：设⊙O 的半径为r ，在Rt△ABC 中， 22222912225AB BC CA =+=+=， ∴15AB = ··················· 7分 ∵A A ∠=∠，90ADO C ∠=∠=，∴△ADO ∽△ACB ．∴AO OD AB BC =．∴15159r r-=．∴458r =．∴454BE = ············· 10分又∵BE 是⊙O 的直径．∴90BFE ∠=．∴△BEF ∽△BAC∴4534154EF BE AC BA ===．7 解：（1）当0≤t ≤时，函数表达式为d ＝11-2t ； …………………………1分 当t ＞时，函数表达式为d ＝2t -11． ……………………………………2分 （2）两圆相切可分为如下四种情况：①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t ＝1＋1＋t ，t ＝3； …………………4分②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t ＝1＋t －1，t ＝311； ……………6分③当两圆第二次内切，由题意，可得2t －11＝1＋t －1，t ＝11； ………………8分 ④当两圆第二次外切，由题意，可得2t －11＝1＋t ＋1，t ＝13．所以，点A 出发后3秒、311秒、11秒、13秒两圆相切． ……………………10分8 证明：(1)∵BM 平分∠ABC ，∠BAC ＝90°，MT ⊥BC ，∴AM ＝MT ．又∵AM ＝AK ，∴AK ＝MT ． (2)∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ． ∵AM ＝AN ，∴∠AMN ＝∠ANM又∵∠ANM ＝∠BND ，∴∠AMN ＝∠BND ． ∵∠BAC ＝90°，∴∠ABM ＋∠AMB ＝90° ∴∠CBM ＋∠BND ＝90°，∴∠BDN ＝90°．∴AD ⊥BC(3)∵BNM 和BPK 为⊙A 的割线，∴BN ·BM ＝BP ·BK ，∴BMBK BP BN =∵AK ＝BD ，AK ＝MT ，∴BD ＝MT∵AD ⊥BC ，MT ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠MTC ＝90°，∴∠C ＋∠CMT ＝90° ∵∠BAC ＝90°，∴∠C ＋∠ABC ＝90°，∴∠ABC ＝∠CMT 在△ABD 和△CMT 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CTM ADB MTBD CMT ABD∴△ABD ≌△CMT ，∴AB ＝MC∵AK ＝AM ，∴AB ＋AK ＝MC ＋AM ，即BK ＝AC ∴BMAC BPBN =9 解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：①BC BD =；②OF BC ∥；③BCD A ∠=∠；④BCE OAF △∽△；⑤2BC BE AB =；⑥222BC CE BE =+；⑦ABC △是直角三角形；⑧BCD △是等腰三角形． ············· 3分 （2）连结OC ，则OC OA OB ==．30D ∠=，30A D ∴∠=∠=，120AOC ∴∠=． · 4分AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=．在Rt ABC △中，1BC =，2AB ∴=，AC = ·· 5分OF AC ⊥，AF CF ∴=．OA OB =，OF ∴是ABC △的中位线．1122OF BC ∴==．1112224AOC S AC OF ∴==⨯=△． ·················· 6分 2133AOCS OA π=π⨯=扇形．························· 7分 34AOC AOC S S S π∴=-=-△阴影扇形 ···················· 8分10 （1）解：是的切线 ·························· 1分 理由： 即．是的切线． ································ 2分 （2）第一种方法： 证明：连接，如图（第19题图1） ，A F OBA且过圆心 ，是等边三角形． ·················· 3分····································· 4分 在中，点为的中点 ································ 5分第二种方法：证明：连接，如图（第19题图2） 为的直径 又····································· 3分且过圆心····································· 4分点为的中点． ······························· 5分 （3）解： 又····································· 6分 ····································· 7分····································· 8分 11 （1）∠BCO ；（2）连接OP ，并延长与⊙P 交于点D ， 若点C 在点D 位置时，直线CA 与⊙O 相切 理由：连接AD ，OA 则∠DAO=90°， 即OA ⊥DA所以DA 与与⊙O 相切即点C 在点D 位置时，直线CA 与⊙O 相切 （3）当∠ACB=60°时，两圆半径相等 理由：∠ADB=∠ACB=60° 又因为∠ADO=∠BDO 所以∠ADO=30° 因为∠DAO=90° 所以OA=21OD 即OA=PO所以当∠ACB=60°时，两圆半径相等D FE OC BG（第19题图2）A12 解：（1）在△ABC 中，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C ． ············ 1分∵DE ∥BC ，∴∠ABC =∠E ，∴∠E =∠C ． ············ 2分又∵∠ADB =∠C ，∴∠ADB =∠E ． ············ 3分（2）当点D 是弧BC 的中点时，DE 是⊙O 的切线． ··········· 4分 理由是：当点D 是弧BC 的中点时，则有AD ⊥BC ，且AD 过圆心O ． ······· 5分又∵DE ∥BC ，∴ AD ⊥ED ．∴ DE 是⊙O 的切线． ············ 6分 （3）连结BO 、AO ，并延长AO 交BC 于点F ， 则AF ⊥BC ，且BF =21BC =3． ········· 7分 又∵AB =5，∴AF =4． ············· 8分 设⊙O 的半径为r ，在Rt△OBF 中，OF =4－r ，OB =r ，BF =3， ∴ r2＝32＋（4－r ）2······· 9分解得r ＝825， ∴⊙O 的半径是825． ·········· 10分 23、解：（1）△CDA ≌△DCE ，△BAD ≌△DCE ； ··············· 2分。