函数与方程一、知识梳理：（阅读教材必修1第85页—第94页）1、方程的根与函数的零点(1)零点:对于函数,我们把使0的实数x叫做函数的零点。

这样，函数的零点就是方程0的实数根，也就是函数的图象与x轴交点的横坐标，所以方程0有实根。

（2）、函数的零点存在性定理：如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，在区间（a，b）内有零点，即存在c，使得=0，这个C 也就是方程0的实数根。

（3）、零点存在唯一性定理：如果单调函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，在区间（a，b）内有零点，即存在唯一c，使得=0，这个C 也就是方程0的实数根。

（4）、零点的存在定理说明：①求在闭间内连续，满足条件时，在开区间内函数有零点；②条件的函数在区间（a，b）内的零点至少一个；③间[a，b]上连续函数，不满足，这个函数在（a，b）内也有可能有零点，因此在区间[a，b]上连续函数，是函数在（a，b）内有零点的充分不必要条件。

2、用二分法求方程的近似解（1）、二分法定义：对于区间[a，b]连续不断且的函数通过不断把区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。

（2）、给定精确度（）用二分法求函数的零点近似值步骤如下：①确定区间[a，b]，验证给定精确度（）；②求区间（a，b）的中点c；③计算（I）若=0，则c就是函数的零点；（II）若则令b=c，（此时零点）；（III）若则令a=c，（此时零点）；④判断是否达到精确度，若|a-b|，则得到零点的近似值a（或b），否则重复②--④步骤。

函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的程序，借助计算器或者计算机来完成计算。

二、题型探究[探究一]：函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．[探究二]：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0呢？提示：不一定．由图(1)(2)可知．[探究三]：有二分法求方程的近似解例1：已知图象连续不断的函数在区间（a，b）（b-a=0.1）上有唯一零点，如果用“二分法”求个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间等分的次数至少是（D）（A）7 （B）8 （C）9 （D）10例2：下列图象不能用二分法示这个函数的零点的是（3、5）(5)yo(3)Xyo(4)yooyX(2)(1)Xyo二、方法提升1、根据根的存在定量理，判断方程的根的取值范围是在高考题中易考的问题，这类问题只需将区间的两个端点的值代入计算即可判断出来。

、2、判断函数零点的个数问题常数形结合的方法，一般将题止听等式化为两个函数图象的交点问题。

3、 在导数问题中，经常在高考题中出现两个函数图象的交点的个数问题，要确定函数具体的零点的个数需逐个判断，在符合根的存在定量的条件下，还需辅以函数的单调性才能准确判断出零点的个数。

三、 反思感悟：。

五、课时作业：1．函数2243y x x =--的零点个数（ C ）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 不能确定2．若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（ B ）.A. 1a >-B. 1a <-C. 1a >D. 1a <3．函数()23x f x =-的零点所在区间为（ C ）A. （-1，0）B. （0，1）C. （1，2）D. （2，3）4．方程lg x ＋x ＝0在下列的哪个区间内有实数解（ B ）.A. [-10，-0.1]B. [0.1,1]C. [1,10]D. (,0]-∞5．函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >，则()y f x =在区间[1,2]上（ D ）.A. 没有零点B. 有2个零点C. 零点个数偶数个D. 零点个数为k ，k N ∈6、设1 (1)1() 1 (1).x x f x x ⎧≠⎪|-|=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的实数解123x x x ，，，则222123x x x ++等于（ A ） A.5 B.222b + C.13 D.213c + 7、)(x f 是定义在],[c c -上的奇函数，其图象如下图所示，令b x af x g +=)()(，则下列关于)(x g 的叙述正确的是（ B ）A ．若0<a ，则函数)(x g 的图象关于原点对B ．若02,1<<--=b a ，则方程)(x g =0有大于2的实根C ．若2,0=≠b a ，则方程)(x g =0有两个实根D ．若2,,1<≥b a ，则方程)(x g =0有三个实根8、已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，那么在区间[1,3]-内，关于x 的方程()1f x kx k =++（其中k 走为不等于l 的实数）有四个不同的实根，则k 的取值范围是（C ）A ．(1,0)-B ．1(,0)2- C ．1(,0)3- D ．1(,0)4- 9、定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（ D ）A.0B.1C.3D.510、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，其图象关于1=x 对称且021=⎪⎭⎫⎝⎛f ，则方程()0=x f 在()0,5内解的个数的最小值是 (D )A ．4B ．5C ．6D ．7A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)13、函数的零点所在的区间是( B ) A ()0,1 B ()1,e C (),3e D ()3,+∞14、若方程xx 2)1ln(=+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+上，则k 的值为( C ) A ．1- B ．1 C ．1-或1 D ．1-或215、设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =(D) A.在区间1(,1),(1,)e e内均有零点｡ B.在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点｡ C.在区间1(,1)e 内有零点,在区间(1,)e 内无零点｡ D.在区间1(,1)e内无零点,在区间(1,)e 内有零点｡16、设方程 x x lg 2=-的两个根为21,x x ，则 （D ）A 021<x xB 121=x xC 121>x xD 1021<<x x17、已知{),0(34),0(3)(21<++≥=-x x x x x f x 则方程f (x )=2的实数根的个数是( D ) A.0 B.1 C.2 D.318、已知函数()22f x x ax a =-+在区间(),1-∞上有最小值,则函数()f x x 在区间()1,+∞上是( C) A.有两个零点 B.有一个零点 C.无零点 D.无法确定19、已知n m b a b x a x x f ,),)()((1)(<---=是)(x f 的零点，且n m <，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系是（ A ）A ．n b a m <<<B ．b n m a <<<C ．n b m a <<<D ．b n a m <<<20、关于x 的方程2(x ①存在实数k ，使得方程恰有，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有，使得方程恰有8个不同的实根；其中假．命题的个数是( A ) A 21、条件p :2-≥a ;条件上存在0x ,使得0()0f x =成立,则p ⌝是q 的 (A )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件22、ax 2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是( C )A.0<a ≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<023、已知函数3()y x ax x R =-∈在（1，2）有一个零点则实数a 的值范围是 （A ）A.14a <<B.14a -<<C.1a < 或4a >D.44a -<<二、填空题24．函数2()56f x x x =-+的零点是 2或3 .25、若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点,则实数a 的取值范围是_a>1___.26、若函数f (x )=e x -2x-a 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是_a>2-2ln2_27．函数3()231f x x x =-+零点的个数为 3 .28、定义域和值域均为[]a a ,-（常数0>a ）的函数()x f y =和()x g y =的图像如图所示，给出下列四个命题：（1）方程()[]0=x g f 有且仅有三个解；（2）方程()[]0=x f g 有且仅有三个解；（3）方程()[]0=x f f 有且仅有九个解；（4）方程()[]0=x g g 有且仅有一个解。

那么，其中正确命题的个数是__(1)(4)___ 。

三、解答题29.已知二次方程2(2)310m x mx -++=的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求m 的取值范围.解：设()f x =2(2)31m x mx -++，则()f x =0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).所以{(1)(0)0(2)(0)0f f f f -⋅<⋅<，即{(21)10(107)10m m --⨯<-⨯<， ∴ 17210m -<<． 30．已知2()2(1)421f x m x mx m =+++-：（1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；解：（1）{22(1)0(4)42(1)(21)0m m m m +≠-⨯+->，解得1m <且1m ≠-.（2）如果函数两个零点在原点左右两侧，求实数m 的取值范围.{2(1)0(0)210m f m +>=-<或{2(1)0(0)210m f m +<=->. 解得112m -<<.31、设关于x 的函数=)(x f ∈--+b b x x (241R ），（1）若函数有零点，求实数b 的取值范围；（2）当函数有零点时，讨论零点的个数，并求出函数的零点.解：（1）原函数零点的问题等价于方程)(0241R b b x x ∈=--+ 化简方程为124+-=x x b ，b b x +-=<<-∴112,01时当的解为)11(log 2b x +-=；综合①、②，得1）当01<<-b 时原方程有两解：)11(log 2b x +±=；2）当10-=≥b b 或时，原方程有唯一解)11(log 2b x ++=；3）当1-<b 时，原方程无解。