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工程力学全套课件 第12章-弯曲变形
5Fl 3 FByl 3 0 -补充方程 48EI 3EI
FBy
5F 16
M A 0, 得 M A 3Fl / 16
Fy 0, 得 FA y 11F / 16
-平衡方程
综合考虑三方面
单辉祖:工程力学
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分析方法与步骤
判断梁的静不定度 用多余力 代替多余约束
的作用,得受力与原静不定 梁相同的静定梁-相当系统
d 2,max
d 2,max 62.5 % d 1,max
增加约束,制作成静不定梁
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例题
例 6-1 已知 F = 35 kN,l = 4 m,[s ] = 160 MPa ,[d ] =
l /500,E = 200 GPa,试选择工字钢型号。
解:
M max
Fl 4
Wz
M max
b
2
l
2
)
单辉祖:工程力学
dw1 0 dx1
f Fb(l 2b2 )3/2 9 3lEI
()
15
例 3-2 建立挠曲轴 微分方程,写出边界条件,EI 为常数
FAy
qa 2
FBy
3qa 2
解:1. 建立挠曲轴近似微分方程
AB段:
d2w1 dx12
qa 2EI
x1
2. 边界条件与连续条件
CB段:
d2w2 dx22
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挠曲轴微分方程
1 M (纯弯) EI
(推广到非纯弯) 1 M ( x) ( x) EI
1
(x)
w 1 w2
3/2
w
1 w2
3/2
M(x) EI
-挠曲轴微分方程
w-弯矩引起的挠度 ❖ smax < sp
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挠曲轴近似微分方程
w
1 w2
,
MB
Fa 2 b l2
单辉祖:工程力学
FAy
Fb2 (l l3
2a)
,
FBy
Fa2 (l l3
2b)
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例 5-2 悬臂梁 AB,用短梁 DG 加固,试分析加固效果
解:1. 静不定分析
wC wG
wC
(5F 2FR 48EI
)l
3
wG
FR (l/2)3 3EI
FRl 3 24EI
(5F 2FR )l3 FRl3 48EI 24EI
水平反力忽略不 计,2多余未知力
2. 解静不定
A 0, B 0
A
A,F
A,M A
A,MB
Fab(l b) 6EIl
M Al 3EI
MBl 6EI
0
B B ,F B ,M A B ,MB
Fab(l a) M Al MBl 6EIl 6EI 3EI
0
MA
Fab2 l2
max -许用转角
桥式起重机梁:
d
75l 0~
l 500
一般用途的轴: d 3l ~ 5l
10000 10000
指定截面的位移控制
w d 例如滑动轴承处: 0.001 rad
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梁的合理刚度设计
横截面形状的合理选择
使用较小的截面面积 A,获得较大惯性矩 I 的截面形 状,例如工字形与盒形等薄壁截面
叠加法 逐段分析求和法 例题
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叠加法
方法
wA ?
分解载荷 分别计算位移
求位移之和
w
A,F
Fl 3 3EI
()
w A,q
ql 4 8 EI
()
w
A
w
A,F
w
A,q
Fl 3 3EI
ql 4 8EI
()
当梁上作用几个载荷时,任一横截面 的总位移,等于各载荷单独作用时在 该截面引起的位移的代数和或矢量和
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5
挠度与转角
转角
-挠度
挠度-横截面形心在垂直于梁轴方向的位移
w w ( x)-挠曲轴方程
转角-横截面的角位移
( x) -转角方程
挠度与转角的关系
(忽略剪力影响)
' tan' dw(小变形)
dx
dw (rad)
dx
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§2 梁变形基本方程
挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程
d max
Fl 3 48EI
M max
Fl 4
M l max
d max l 3
例如 l 缩短 20%,dmax 将减少 48.8%
跨度微小改变,将导致挠度显著改变
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合理安排约束与加载方式
d 1,max
d 2,max 8.75 % d 1,max
d 2,max
q=F/l
d 1,max
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§1 引 言
弯曲变形及其特点 挠度与转角
单辉祖:工程力学
4
弯曲变形及其特点
挠曲轴
变弯后的梁轴,称为挠曲轴 挠曲轴是一条连续、光滑曲线
对称弯曲时,挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁,剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计,
因而横截面仍保持平面,并与挠曲轴正交
研究弯曲变形的目的,进行梁的刚度计算,分析静 不定梁,为研究压杆稳定问题提供有关基础
工程力学全套课件
单辉祖:工程力学(材料力学)
第 12 章 弯曲变形
本章主要研究:
弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计
单辉祖:工程力学
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§1 引言 §2 梁变形基本方程 §3 计算梁位移的积分法 §4 计算梁位移的叠加法 §5 简单静不定梁 §6 梁的刚度条件与合理设计
材料的合理选择
影响梁刚度的力学性能是 E ,为提高刚度,宜选用E 较高的材料
注意:各种钢材(或各种铝合金)的 E 基本相同 钢与合金钢:E (200 ~ 220) GPa 铝 合 金:E (70 ~ 72) GPa
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梁跨度的合理选取
d max
Fl 3 3EI
M Fl max
FR
5F 4
单辉祖:工程力学
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FR
5F 4
2. 加固效果分析(刚度)
wB
Fl 3 3EI
5FR l 3 48EI
13Fl 3 64EI
wB,未加固=3FEl I3
减少39.9%
3. 加固效果分析(强度)
M
max
Fa 2
单辉祖:工程力学
M max,未加固=Fa
减少 50%
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例 5-3 图示杆梁结构,试求杆 BC 的轴力
在 x l 处,w 0 (2)
计算转角
D 0, C Mel 6 EI
dw Me (3x2 l2)
单辉祖:工程力d学x 6EIl
A
(0)
Mel()
6EI
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挠曲轴的绘制
绘制依据
满足基本方程
w M ( x) EI
❖ 满足位移边界 条件与连续条件
绘制方法与步骤
画M图
❖ 由 M 图的正、负、零点或零值区,确定挠曲轴的 凹、凸、拐点或直线区,即确定挠曲轴的形状
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挠曲轴微分方程与边界条件
d2w dx 2
M(x EI
)
dw
dx
ME(Ix )dx C
w ME(Ix)dxdxCxD
约束处位移应满足的 条件-位移边界条件
梁段交接处位移定积分常数
单辉祖:工程力学
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积分法求梁位移
A =?
单辉祖:工程力学
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理论依据
EI
d2w dx 2
M
(
x
)
(小变形,比例极限内)
M ( x)MF ( x)Mq ( x)
(小变形)
上述微分方程的解,为下列微分方程解的组合
EI
d2w dx 2
MF
(
x)
w wF ( x)
EI
d2w dx 2
Mq
(x)
w wq ( x)
故:w wF ( x) wq ( x)
叠加法适用条件:小变形,比例极限内
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逐段分析求和法
分解梁
分别计算各梁段的 变形在需求位移处引 起的位移
w1 Ba
B
Fa l 3EI
w1
Fal 3EI
a
Fa 2 l 3EI
w2
Fa 3 3EI
求总位移
ww1
w2
Fa 2 3EI
(
l
a)
()
单辉祖:工程力学
在分析某梁段的变形在 需求位移处引起的位移 时,其余梁段视为刚体
z y
tan
一般情况下 I y I z 故
挠曲轴与外力作用面不重合
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§5 简单静不定梁
静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法 例题
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静不定度与多余约束
4-3 = 1 度 静不定
静不定梁 支反力(含力偶)数超过平衡方程数的梁 静不定度 =未知支反力(力偶)数-有效平衡方程数
Fa3 3EI1
()
wC
7Fa3 3EI2
Fa3 3EI1
3Fa3 2EI1
()
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例 4-2 图示组合梁,EI=常数,求 wB 与A
FAy FBy qa 2
解:
wB
wB,FBy