高等数学第二册第七章空间解析几何与向量代数在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线与曲面。

通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。

也为学习多元微积分做准备。

重点：曲面方程，曲线方程难点：较深刻地理解曲面（平面）、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征。

（一）1．空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点，连同三个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系。

当，，的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手坐标系。

在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系。

关于一般的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《空间解析几何》这类专业教材。

2．空间向量可以从两个途径来认识：①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向（可由方向角来确定）连同大小（模长）来确定（注意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量与起点和终点无关）。

书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方便，常在字母上面加一个箭头表示，例：，等。

②可由向量的坐标来把握向量。

必须分清向量坐标与点坐标这两个概念，一般情况下，设的始点的坐标分别为，，则，即向量的坐标与向量的起点及终点的坐标间有下列关系：，，。

因此，若确定了向量的坐标，则这个向量就确定了。

当向量的起点与坐标系的原点重合时，向量的坐标与向量的终点的坐标在数值上相等。

3．在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比较容易掌握。

如求向量的加法和减法可以平行四边形或以力的相加或相减为模型，求两向量的数量积可以求力在某段路程上所作的功为模型，求两向量的向量积可以求力关于某点的力矩为模型，并要熟练掌握每种运算的算律。

4．一个平面具有各种形式的方程，如点法式，三点式，截距式，一般式。

在学习平面的各种形式的方程时，对方程中常数的几何意义应引起充分的注意。

如：平面方程，则为平面的一个法向量，建立平面的方程时应根据条件灵活处理。

点法式方程是应用较方便，常用的方程类型，这是因为在讨论平面问题时，平面的法向量常常起着关键性的作用。

5．确定空间一条直线的方法很多，在《高等数学》中把它归结为由直线上的一个定点和与直线平行的一个非零向量来确定，或将它看成两个平面的交线。

空间直线的标准式方程与参数式方程，二维空间中的直线均有对应的形式，但要注意，只有空间直线可看成两个平面的交线。

6．在《高等数学》中，常用的曲面方程为：（二）1．向量在轴上的投影是个常用的概念，要注意向量在轴上的投影是一个数量而不是一个向量，也不是一个线段。

设向量，其中投影轴为，点，在轴上的投影分别为，，若取与轴同方向的单位向量为，则有称为在轴上的投影。

因此向量在轴上的投影不是有向线段，而是一个数值，记为，易知，其中为与轴的夹角。

2．向量在坐标轴上的投影称为向量的坐标。

3．向量的数量积，向量积一览表：4．要熟练掌握平面，直线的各种形式的方程互化，关键在于明确在各种形式的方程中，各个量（常量、变量）的几何意义以及它们之间的关系，在此基础上，互化是容易做到的。

如建立平面的三点式方程时，若硬记公式则不容易记牢的，但从三个向量共面的角度去思考就能牢牢地记住。

5．要深刻理解空间直角坐标系下平面的方程是一个关于，，的一次方程。

反之，任何一个关于，，的一次方程都表示一个平面。

6．平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系均是通过平面的法向量间，直线的方向向量间，或平面法向量与直线的方向向量间的位置关系来讨论，因此可归结为向量问题来解决。

如：两个平面间的夹角问题通过它们的法向量的夹角来解决。

7．常用的曲面方程见（A）中6，要真正掌握这些曲面的形状、特征，可以用“平行平面截割法”，也就是用一族平行平面（一般平行于坐标面）来截割曲面，研究所截得的一族曲线是怎样变化的，从这一族截线的变化情况即可推想出所表示的曲面的整体形状，这是认识曲面的重要方法，它的基本思想是把复杂的空间图形归结为比较容易认识的平面曲线。

8．空间曲线一般由两个曲面相交而得，这样的曲面有无穷多个，若曲线的形状不易把握时，可先将两个曲面方程通过消去未知数的方法得两个过曲线的射影柱面的方程，而射影柱面的形状是较容易把握的。

9．空间曲面和曲线除了利用图形上的点的坐标所满足的关系建立方程外，还常用参数方程来表示。

参数方程的特征是方程中既有表示坐标的变量，也有坐标以外的其他变量（称参数），且坐标变量，，分别可以表示成参数的函数。

10．曲线（直线）的参数方程均含一个参数，曲面（平面）的参数方程含两个参数。

简单的参数方程消去参数后可化得普通方程，但并不是所有的参数方程都能化成普通方程的。

（三）1．三个向量相乘有混合积和双重向量积，其中双重向量积的讨论可见《空间解析几何》这类专业教材，对于混合积在高等数学中应用较多，它具有一个十分重要的几何意义，即当，，不共面时，的绝对值等于，，为棱的平行六面体的体积。

因此利用混合积可以解决求一类体积的问题。

2．三个以上的向量相乘的问题总可转化为三个向量相乘，因此可归结为三个向量相乘来讨论。

3．混合积的坐标表示与特征性质设，，，则，，，共面。

4．在学习曲面与空间曲线时，应注意两点：①空间曲面方程的定义与平面曲线方程的定义相类似，通常将曲面看成具有某种特征性质的空间点的轨迹，用方程来表示，从集合的观点来看，曲面就是所有满足方程的点的集合。

②要充分理解空间曲线一般方程的定义。

这里强调用通过空间曲线的任意两个曲面的方程来表示，即用通过空间曲线的两个曲面方程联立起来表示空间曲线。

若由方程和表示的两个曲面，除去曲线：上的点是它们的公共点外，再也没有别的公共点，则用表示它们交线的方程。

但要注意，联立任意的两个曲面方程，它们可能不表示任何空间曲线，例如，从代数上看这是一个矛盾方程组，不存在解；从几何上看，这是两个同心的球面，它们没有任何的公共点。

第八章多元函数微分法及其应用学习指导一、知识脉络二、重点和难点1．重点：求极限、求偏导数、求全微分、求极值。

2．难点：极限存在、连续、偏导数存在、可微之间的关系，复合函数求偏导数。

三、问题与分析1．与仅当前者存在时，才相等。

2．二重极限、连续、偏导数存在、可微间的关系3．多元函数中极限、连续、偏导数的运算法则、一阶微分形式的不变性、初等函数的连续性、最值定理、介值定理均与一元函数中相应内容和结论对应。

4．二重极限与二次极限是本质不同的两个概念。

(1) 当动点沿任意路径趋于时，若都以同一数值为其极限，则这样得到的极限为二重极限；当，先后相继地趋于，时的极限为二次极限。

(2) 两个二次极限存在且相等，不能得出二重极限存在。

例如：，容易验证两个二次极限，但是不存在。

(3) 二重极限存在，不能得出二次极限存在。

例如：，因为在不含有两个坐标轴的平面点集上有定义，当时，有。

由于有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量，可得，对任意给定的，由于，而不存在，所以不存在。

因此先对后对的二次极限不存在。

同理也不存在。

5．学习二次极限应注意以下三个问题：(1) 两个二次极限分别存在时不能保证它们一定相等，因此不能任意地交换求极限的先后顺序。

例：，则，。

(2) 二次极限中一个存在，另一个可以不存在。

例：，容易验证，而不存在。

(3) 两个二次极限都可以不存在。

例：。

容易验证与都不存在。

6．学习多元复合函数的求导应注意的问题：求多元复合函数的导数，关键是搞清各个变量之间的复合关系，常用一种“树形图”的图形直观地给出因变量、中间变量及自变量的关系，帮助我们记忆公式，以便进行正确运算。

例如：，，画出“树形图” 则7．学习方向导数应注意的问题(1) 是单侧极限。

因为，所以实际上是。

(2) 是双侧极限。

时，可正、可负，因此时，与不一定相等，时，与也不一定相等。

(3) 梯度是一个向量，当的方向与梯度方向相同时，方向导数达到最大值。

8．最小二乘法在数学建模中有广泛的应用，要注意领会其精神实质。

四、解题示范例1：求解：原式一般地，用定义证明二重极限不存在有二种途径：(1) 找到两条特殊的途径，得出沿这两条途径趋于时，的极限值不等；(2) 找到一条特殊的途径证明沿此途径趋于时，的极限不存zu v y x在。

例2：求解：当动点沿趋于时，则当动点沿趋于时，则故原极限不存在。

例3：求当，时的全微分。

解：因，，故。

例4：求的一阶偏导数，其中具有一阶连续偏导数。

解：将三个中间变量按顺序编为1，2，3号，画出“树形图” 故 例5：求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。

u=f x(1) xy(2) xyz(3)解：，，因为所以例6．设，，取，作为新自变量，试变换方程。

解：，故即7．设由确定，求。

解：由两边对求导：从而 (1)原式两边对求导从而 (2)(1)式两边对求导将(2)代入得：第九章重积分学习指导一、知识脉络二、、重点和难点1．重点：求二重积分、求三重积分2．难点：将二重积分化为二次积分，将三重积分化为三次积分三、问题与分析1．重积分中有4个关键步骤：①任意分割积分区域；②在分割后的小区域中任意取点；③求和；④求极限；2．计算重积分的关键是化为累次积分，根据具体题目，要能正确选择坐标系以及要正确考虑积分的先后次序；3．二重积分的几何意义：①当时，表示以曲面为顶，以为底的曲顶柱体体积；②当时，的面积；4．二重积分的物理意义：当表示平面薄片的面密度时，表示的质量；5．三重积分的物理意义：当表示空间立体的体密度时，表示的质量。

四、计算二重积分时，应注意的问题1．选系：当积分区域是圆域或圆域的一部分，被积分函数含有或两个积分变量之比，时，一般可选用极坐标系来计算；2．选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，先对哪个变量积分较好；3．积分区域的对称性与被积函数的奇偶性的正确配合，例如当积分区域关于轴对称时，应配合被积函数关于的奇偶性；4．特例：当被积分函数的变量可分离，并且积分区域为两邻边分别与两坐标轴平行的矩形时，则二重积分可化为两个定积分的乘积。

五、解题示范例1：改变二次积分的积分次序。

解：积分区域：改写为：故。

例2：计算，其中是由直线及抛物线所围成的区域。

解：积分区域为：，于是注意：如果先对后对积分，此时为，于是。

由于的原函数不能用初等函数表示，积分难以进行，故本积分不能按此次序。

例3：计算，其中为。

解：用极坐标，此时为：于是注：如用直角坐标，则由于不能用初等函数表示，积分就难以进一步计算。

例4：计算，其中为平面，，，所围成的四面体。

解：积分区域为，于是原式。

例5：求，其中是由曲面及所围成的区域。

解：积分区域为，于是原式例6：求，其中由不等式，所确定。

解：直角坐标变换为球面坐标，于是为故原式。