当前位置:文档之家› 概率论与数理统计考试试卷与答案

概率论与数理统计考试试卷与答案

0506一.填空题(每空题2分,共计60 分)1、A、B 是两个随机事件,已知p(A) 0.4,P(B) 0.5,p(AB) 0.3 ,则p(A B) 0.6 ,p(A -B) 0.1 ,P(A B)= 0.4 , p(A B) 0.6。

2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。

(1)从中不放回地任取2只,则第一次、第二次取红色球的概率为:1/3 。

(2)若有放回地任取 2 只,则第一次、第二次取红色球的概率为:9/25 。

( 3)若第一次取一只球观查球颜色后,追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后,再取第二只,则第一次、第二次取红色球的概率为:21/55 。

3、设随机变量X 服从B(2,0.5)的二项分布,则p X 1 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从B(100,0.5),E(X+Y)= 50 ,方差D(X+Y)= 25 。

4、甲、乙两个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15.现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。

( 1)抽到次品的概率为:0.12 。

2)若发现该件是次品,则该次品为甲厂生产的概率为:0.56、若随机变量X ~N(2,4)且(1) 0.8413 ,(2) 0.9772 ,则P{ 2 X 4} 0.815 ,Y 2X 1,则Y ~ N( 5 ,16 )。

7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1,E(Y)=2, 方差D(X)=1 ,D(Y)=2, 且X、Y 相互独立,则:E(2X Y) - 4 ,D(2X Y) 6 。

8、设D(X) 25 ,D( Y) 1,Cov( X ,Y) 2,则D(X Y) 309、设X1, , X 26是总体N (8,16)的容量为26 的样本,X 为样本均值,S2为样本方差。

则:X~N(8 ,8/13 ),25S2 ~ 2(25),X 8 ~ t(25)。

16 s/ 2510、假设检验时,易犯两类错误,第一类错误是:”弃真” ,即H0 为真时拒绝H0,第二类错误是:“取伪”错误。

一般情况下,要减少一类错误的概率,必然增大另一类错误的概率。

如果只对犯第一类错误的概率加以控制,使之<a,而不考虑犯第二类错误的概率,这种检验称为:显著性检验。

二、(6 分)已知随机变量X 的密度函数f(x)求:(1)常数a, (2) p(0.5 X 1.5)(3)X解:(1)由 f (x)dx 1, 得a 31..5 1 2(2) p(0.5 X 1 5) = 0.5 f (x)dx 0.53x2dx0 x 0(3) F(x) x3, 0 x 1 21 , 1 x2ax , 0 x 10 , 其它的分布函数F( x)2'0.875 2'三、(6 分)设随机变量(X ,Y )的联合概率密度为:f(x,y)2y, 0 x 1,0 y 10 , 其它4'f X(x)12 ydy 1 0 x 1 01f Y (y)f (x,y)dx 2ydx 2y,其他0y1其他求:(1) X,Y 的边缘密度,解:(1) X,Y 的边缘密度分2)讨论X 与Y 的独立性。

4'(2)由(1)可见f(x,y) f X(x) f(Y y), 可知: X,Y 相互独立2'四、(8 分)设总体X~ N(0,2),。

X 1,..., X n是一个样本,求2的矩估计量,并证明它为2的无偏估计。

解: X 的二阶矩为:E(X 2) 21‘1nX 的二阶样本矩为A2 1 X i2 n k 11'令:E(X 2) A2,1'n解得: 2 1 n Xi2, n k 1n2的矩估计量 2 1X i2n k 12'1nE( ?2) E(1 X i2) , 它为2的无偏估计量.n3'五、(10 分) 从总体X ~N(u, 2) 中抽取容量为16 的一个样本,样本均值和样本方差分别是X 75,S2 4,t 0.975 (15) 2.1315,x02.025(15) 6.26, x02.975 (15) 27.5 求u 的置信度为0.95 的置信区间和2的置信度为0.95 的置信区间。

解: (1)n=16,置信水平 1 0.95, /2 0.025,t0.975(15) 2.1315,X 75,S2 4由此u 的置信水平为0.95的置信区间为:(75 2 2.1315) , 即(75 1.0658) 5'16(2) n=16,置信水平 1 0.95, / 2 0.025 , x02.025 (15) 6.26,x02.975(15) 27.5S2 4由此2的置信水平为0.95 的置信区间为:15 4 15 4( 2 , 2 ) (2.182,9.585) 5'20.975 (15) 20.025(15)六、 (10 分) 设某工厂生产工件的直径服从正态分布,要求它们的均值0.25 ,现检验了一组由16 只工件,计算得样本均值、样本方差分u 8,经计算, ts x / 18670.6.75/48 2 2.13,不在拒绝域内 ,因此接受 H 0.认为这批工件的均值符合标准其次首先对工件的方差进行检验 : H 0: 20.52,H 1: 20.521 分2取统计量为 2 (16 12)s, 可得拒绝域为 : {2 15 02.4902.05(15) 25} 2 分 0.520.52 0.052经计算 ,2 (16 12)s29.4 25 ,在拒绝域内 ,因此拒绝 H 0.认为这批工件的方差 0.52不符合标准别 x 7.65,s 2 0.49 ,试在显著水平 0.05下,对该厂生产的工件的均值和方差进行检验,看它们是否符合标准此题中, t 0.5(15) 1.76,t 0.025(15) 2.13, 0.052 (15)25, 0.0252 (15) 27.5,解:(1)首先对工件的均值进行检验 : H 0: u 8,H 1 :u 8 1分取统计量为 t X 8 , 可得拒绝域为 : { t s/ 16X8 s/ 16t 0. 025 (15) 2.13} ,2分2分 2分XX 大学(本科)试卷( B 卷)2005 -2006 学年第一学期一.填空题(每小题 2 分,共计60 分)1. 设随机试验E 对应的样本空间为S。

与其任何事件不相容的事件为不可能事件,而与其任何事件相互独立的事件为必然事件;设E为等可能型试验,且S包含10个样本点,则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为1/10。

2.P(A) 0.4,P(B) 0.3。

若A与B独立,则P(A B) 0。

28 ;若已知A, B中至少有一个事件发生的概率为0.6,则P(A B) 0.3,P(A B) 1/3 。

3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只,从中不放回地任取2只,则取到球颜色不同的概率为:15/28。

若有放回地回地任取 2 只,则取到球颜色不同的概率为:15/32 。

4、E(X) D(X) 1。

若X服从泊松分布,则P{X 0} 1 e 1;若X服从均匀分布,则P{X 0}0 。

25、设X ~ N( , 2),且P{X 2} P{X 2}, P{2 X 4} 0.3,则 2 ;P{X 0}0.8 。

6、某体育彩票设有两个等级的奖励,一等奖为4元,二等奖 2 元,假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。

是否买此彩票的明智选择为:买 (买,不买或无所谓)。

7、若随机变量X ~ U (1,5) ,则p〈0 X〈4 0.75 ;E(2X 1) __7___,D(3X 1) 12 .38 、设X ~b(n,p),E(X) 2.4,D(X) 1.44 ,则P{X n} 0.43,并简化计算有: p(A 1) 15%,P(A 2)80%,P(A 3) 5%2' B 表示取到次品, p(B A 1)0.2,P(B A 2 ) 0.1, P(B A 3) 0.3,2'由贝叶斯公式: p(A 1 B)= p(A 1)3P(B A 1)(/k1p(A k ) P(B A k ) 0.24 4'三、(7分)已知随机变量 X 的密度函数 f (x)ax, 00x1 , 其它求:( 1)常数 a , 2) p(0 X 0.5)3)X 的分布函数 F (x )。

解 :(1)由 f (x)dx1, 得a 22'(2) p(0. X1 5) = 0.5 0 f (x)dx0.5 2xdx 0.253'15 2 2 X 20S 2 ~ 2(15) , ~ t(15) 16s/ 15此题中 (2) 0.9772 。

12、做假设检验时,容易犯两类错误,第一类错误是: ”弃真” ,即 H 0 为真时拒绝 H 0, 第二类率。

如果只对犯第一类错误的概率加以控制,使之《 a , 而不考虑犯第二类错误的概率, 这种检验称为显著性检验, a 称为 显著水平。

13、设二维随机向量 (X,Y) 的分布律是: 则 X的方差 D(X) 0.21 ;X 与Y 的相关系数为: XY 3/7 。

二、 (7 分)甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2,0.1,0.3.现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占 15%,80%,5%的一批产品中随机 抽取一件,发现是次品,求该次品为甲厂生产的概率. 解:设 A 1,A 2,A 3 分别表示产品取自甲、乙、丙厂,11、随机变量 X 的概率密度 f (x)xe 0,,则称 X 服从指数分布,E(X) 11'五、(7 分) 从总体 X ~N(u, 2) 中抽取容量为 16的一个样本,样本均值和样本方差分别是 X75,S 2 4 , t 0.975(15) 2.1315,x 02.025(15) 6.26, x 02.975(15) 27.5求 u 的置信度为 0.95 的置信区间和 2 的置信度为 0.95 的置信区间。

解: (1)n=16,置信水平 1 0.95, /2 0.025,t 0.025(15) 2.1315,X 75,S 24 由此 u 的置信水平为 0.95 的置信区间为 :2(75 2.1315) , 即 (75 1.0658)4'16(2) n=16,置信水平 10.95, /2 0.025 , x 02.025(15) 6.26, x 02.975 (15) 27.5S 24由此 2的置信水平为 0.95的置信区间为 : 15 4 15 4( 2 , 2 ) (2.182,9.585) 3'0.025 (15) 0.975 (15)六 、(7 分)设总体 X~ N(u , 1), u未知。

相关主题