析系统的特性，时间响应分析（也称之为：时域分析）
是重要的方法之一。 时域分析——给系统施加一输入信号，通过研究系 统的输出（响应）来评价系统的性能。 如何评价一个系统性能的好坏，有一些动态和稳态 的性能指标可以参考。
2
3.1 时间响应及其组成
例1
1 按照微分方程解的结构理论，这一非齐次常微分方程的解由两 部分组成，即： 是与其对应的齐次微分方程的通解 是其一个特解
5
3.1 时间响应及其组成
此方程的解为通解
（即自由响应）与特解
（即强迫响应）所组成，即：
6
3.1时间响应及其组成
这是因为：在定义系统的传递函数时，由于已指明了系统的 初态为零，故取决于系统的初态的零输入响应为零。
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3.1时间响应及其组成（瞬态响应与稳态响应）
8
3.1时间响应及其组成（瞬态响应与稳态响应）
KH
X o (s) 10K 0 /(0.2 s 1) G(s) K0 X i (s) 1 G ( s ) K H 1 10K H /(0.2s 1) 10K 0 1 10K H 0.2 s 1 1 10K H
若将调节时间减至原来的0.1倍，但 总放大系数保持不变，则：
其拉氏变换的表达式为：
t0 t0
i
式中 , R为常数。 当R＝ 1, x (t)=t为单位斜坡函数 。
通过观察，我们可以发现 因为dx(t)/dt=R, 所以阶 跃函数为斜坡函数对时间的导数。
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3.2 典型输入信号
3. 抛物线函数（等加速度函数）
抛物线函数(见图)的时域表达式为
Rt 2 xi (t ) 2 0
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3.1时间响应及其组成（瞬态响应与稳态响应）
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3.1时间响应及其组成（瞬态响应与稳态响应）
11
3.1时间响应及其组成（瞬态响应与稳态响应）
12
3.1时间响应及其组成（瞬态响应与稳态响应）
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3.2 典型输入信号
控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性
能指标两大类，为了求解系统的时间响应必须了解系
第三章 系统的时间响应分析
◆ 时间响应及其组成
◆ 典型输入信号 ◆ 一阶系统 ◆ 二阶系统 ◆ 系统误差分析与计算 ◆ 利用MATLAB分析时间响应 习题：3.2 3.7 3.10 3.12 3.15 3.18
1
引言
在建立系统的数学模型（微分方程与传递函数）之 后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分
统输入信号（即外作用）的解析表达式（也就是确定 性信号），然而，在一般情况下，控制系统的外加输 入信号具有随机性而无法预先确定，因此需要选择若 干确定性信号作为典型输入信号。
何谓确定性信号呢？就是其变量和自变量之间的
关系能够用某一确定性函数描述的信号。
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3.2 典型输入信号
1.
阶跃函数的时域表达式为:
=0为等
幅振荡。在 ＝ 1和 >1时，二 阶系统的过渡过程具有单调上升
的特性。 从过渡过程的持续时间来看，
＝1时的过渡时间ts最短。
在无振荡单调上升的曲线中，在
在欠阻尼系统中，当 ＝0.4～0.8时，不仅其过渡过程时间比 ＝1

时的更短，而且振荡不太严重。
42
3.4 二阶系统（的时域分析）
X 0 ( s) n2 G( s ) 2 2 X i (s) s 2n s n
30
称为阻尼比, ωn称为无阻尼自然振荡角频率。 式中，
3.4 二阶系统（的时域分析）
因此，系统结构图可 化简为如下图所示：
二阶系统结构简图
2 二阶系统的特征方程为：s2 2n s n 0
s
－
0.1
这是一个典型一阶系统，调节时间ts=3T=0.3秒。 若要求调节时间ts=0.1秒，可设反馈系数为α，则系统的闭环传递 函数为：
100/ s G( s) 1 100/ s
1/ 1 s 1 100
3 t s 3T 0.1 100
0.3
27
3.3 一阶系统
2 3
3
3.1 时间响应及其组成
把 3 式代入 1 式得： 化简得： 于是 1 式得完全解为：
4
为了求得系数A,B现将上式对t求导。 5 代入 4 5 式即可得到系数A、B。如下：
4
3.1 时间响应及其组成
由初始条件引起的 自由响应
由输入引起 的自由响应
由输入引起 的强迫响应
系统的初态为0，仅有输 入引起的响应。
种典型信号的响应，就可以推知另一种信号。
25
3.3 一阶系统
例1：已知某线性定常系统的单位斜坡响应为： 试求其单位阶跃响应和单位脉冲响应函数。 解：因为单位阶跃函数、单位脉冲函数分别为单位斜坡函数的一 阶和二阶导数，故系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应函数分别 为单位斜坡响应的一阶和二阶导数。 即：单位阶跃响应为：
式中, A为振幅, ω为角频率。 当A＝1时，其拉氏变换的表达式为：
6.随机信号
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3.3 一阶系统
一阶系统：能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
（也称为一阶系统的特征参数），表达了一阶系 统本身的与外界作用无关的固有特性。
20
3.3 一阶系统
如果将该指数曲线衰减到初值的2％（或5％）之前的过程定义为 过渡过程，则可算得相应的时间为4T（或3T）。称此时间（4T/3T）
记： 称 为二阶系统的有阻尼固有频率
36
3.4 二阶系统（的时域分析）
37
3.4 二阶系统（的时域分析）
当
取不同值，二阶欠
阻尼系统的单位脉冲响应如
图所示。 欠阻尼系统的单位脉冲 响应曲线是减幅的正玹振荡 曲线，且 振荡频率 愈小，衰减愈慢， 愈大。故欠阻尼 w
d
系统又称为二阶振荡系统，
其幅值衰减的快慢取决
2
是一对共轭复数根, 如图所示。 二阶系统闭环极点分布
32
3.4 二阶系统（的时域分析）
2. 临界阻尼状态( =1)
当 =1时, 特征方程有两个
相同的负实根, 即
s1,2= -ωn
如图所示。
二阶系统闭环极点分布
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3.4 二阶系统（的时域分析）
3. 过阻尼状态( ＞1)
当 ＞1时, 两特征根为：
s1,2 n n 2 1
为两个不同的负实根, 如图所示：
二阶系统闭环极点分布
34
3.4 二阶系统（的时域分析）
4. 无阻尼状态( =0)
当 =0时, 特征方程有一对
共轭纯虚数根, 即:
s1,2 jn
如图所示:
二阶系统闭环极点分布
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3.4 二阶系统（的时域分析）
为过渡过程时间或调整时间，记为ts 。
由此可见，系统得时间常数T愈小，则过渡过程的持续时间愈短。 这表明系统的惯性愈小，系统对输入信号反应的快速性能愈好。
（注意，在实际应用时，理想的脉冲信号是不可能得到的。）
21
3.3 一阶系统
几点重要说明： 1. 在这里有两个重要的点：A点与0点（都与时间常数T有密 切的关系）。
（4）最后再结合G（s）＝L[w(t)]，求得G（s），即得到一阶系 统的传递函数。
23
3.3 一阶系统
对于一阶系统的单位斜坡响
e(t ) lim[r (t ) c(t )]， T 应，ess lim t t
说明一阶系统单位斜坡响应在 过渡过程结束后存在常值误差， 稳态分量t－T也是一个斜坡 函数，与输入信号斜率相同， 但在时间上滞后一个时间常 数T。 其值等于时间常数T。（跟踪 单位斜坡输入信号时，稳态误 差为T。）
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3.4 二阶系统（的时域分析）
一、二阶系统的各种状态
典型的二阶系统结构图如图所示，它是一个由惯性 环节和积分环节串联组成前向通道的单位负反馈系统。 系统闭环传递函数为:
G( s) X 0 ( s) K1 K 2 2 X i ( s) s s K1 K 2
二阶系统结构图
令 K1 K 2 2 , 1 2 n n 则系统闭环传递函数化 为如下标准形式：
单位脉冲响应为：
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3.3 一阶系统
例2:一阶系统如图所示，试求系统单位阶跃响应的调 节时间ts，如果要求ts=0.1秒，试问系统的反馈系数应 如何调整？ 100 Xi(s) Xo(s) 解：系统的闭环传递函数为：
G(s) 100 / s 10 1 0.1100 / s 0.1s 1
2. 系统的过渡过程时间ts 。
22
3.3 一阶系统
一阶系统 G（s）的实验求法：
通过以上分析可知，若要求用实验方法求一阶系统的传递函数，
（1）我们就可以先对系统输入一单位阶跃信号，并测出它的响应 曲线。 （2）然后从响应曲线上找出0.632xou（∞）处所对应点的时间t。 这个t就是系统的时间常数T。 或通过找到t＝0时xou（t）的切线斜率，这个斜率的倒数也是系 统的时间常数T。 （3） 再参考 数） ，求出w（t）。 （一阶系统单位脉冲响应函
因此，一般希望二阶系统工作在 ＝0.4～0.8的欠阻尼状态， 因为这个工作状态有一个振荡特性适度而且过渡过程持续时间又较 短。
而且决定过渡过程特性的是瞬态 响应这部分。选择合适的过 渡过程实际上是选择合适的瞬态响应，也就是选择合适的特征参 数： wn与值。 在根据给定的性能指标设计系统时，将一阶系统与二阶系统
例3：已知某元部件的传递函数为：
解：原系统的调节时间为
采用图示方法引入负反馈，将调节时间减至原来的0.1倍，但总 放大系数保持不变，试选择KH、K0的值。 Xi(s) K Xo(s)