二级斜齿圆柱齿轮减速机优化设计1. 题目二级斜齿圆柱齿轮减速机。

高速轴输入功率R=6.2kW ，高速轴转速n 1=1450r/min ，总传动比i Σ=31.5，齿轮的齿宽系数Φa =0.4；齿轮材料和热处理；大齿轮45号钢正火硬度为187～207HBS ，小齿轮45号钢调质硬度为228～255HBS 。

总工作时间不小于10年。

要求按照总中心距最小确定总体方案中的主要参数。

2.已知条件已知高速轴输入功率R=6.2kW ，高速轴转速n 1=1450r/min ，总传动比i Σ=31.5，齿轮的齿宽系数Φa =0.4。

3.建立优化模型3.1问题分析及设计变量的确定由已知条件求在满足使用要求的情况下，使减速机的总中心距最小，二级减速机的总中心距为：()()11123212112cos n n m z i m z i a a a β∑+++=+=其中1n m 、2n m 分别为高速级和低速级齿轮副的模数，1z 、3z分别为高速级和低速级小齿轮齿数，1i 、2i分别为高速级和低速级传动比，β为齿轮副螺旋角。

所以与总中心距a ∑相关的独立参数为：1n m 、2n m 、1z 、3z 、1i （2131.5i i =）、β。

则设计变量可取为：x=[1n m 2n m 1z 3z 1i β]T =[1x 2x 3x 4x 5x 6x ]T 3.2目标函数为()()()135********.52cos f x x x x x x x x =+++⎡⎤⎣⎦为了减速机能平稳运转，所以必须满足以下条件：12131253.56142216227815n n m m z z i β≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤、、、5.8、3.3约束条件的建立3.3.1线性不等式约束条件()1120g x x =-≤ ()2150g x x =-≤ ()323.50g x x =-≤ ()4260g x x =-≤ ()53140g x x =-≤ ()63220g x x =-≤ ()74160g x x =-≤ ()84220g x x =-≤ ()955.80g x x =-≤ ()10570g x x =-≤ ()11680g x x =-≤ ()126150g x x =-≤3.3.2非线性不等式约束条件1）齿轮的接触应力不得大于许用应力值，得[]11H H σσ=≤[]22H H σσ=≤即[][]2331113121123323232222cos 08925cos 08925H n H n m z i K T mz i K Tαασϕβσϕβ-≥⨯-≥⨯2）齿轮的弯曲应力不得大于许用弯曲应力值，得[][]1111112121221.5F F n F F F K T bd m Y Y Y σσσσσ=≤=≤即[]()[]()132211111123222111111cos 031cos 03F n F n Y i m z K T Y i m z K T αασϕβσϕβ+-≥+-≥和[]()[]()332232232243224223221cos 031cos 03F n F n Y i m z K T Y i m z K T αασϕβσϕβ+-≥+-≥其中齿形系数的计算如下：21112222233324440.1690.0066660.00008540.1690.0066660.00008540.1690.0066660.00008540.1690.0066660.0000854Y z z Y z z Y z zY z z =+-=+-=+-=+-3）高速级齿轮和低速级齿轮不得发生干涉，得：()()232111112cos 0n n n m z i E m m z i β+-+-≥E 为低速轴轴线与高速级大齿轮齿顶圆之间的距离，单位为mm 。

大齿轮45号钢正火硬度为187～207HBS ，查表得计算可得[][]212518.75/H H N mm σσ==，小齿轮45号钢调质硬度为228～255HBS[][][][]213224153.5/141.6/F F F F N mm N mmσσσσ==== 高速轴输入功率R=6.2kW ，高速轴转速n 1=1450r/min ，计算可得12141690/40440/T N mm T i N mm ==、、查表可得：1212340.248 1.2040.2480.3020.2560.302======K 、K 、Y 、Y 、Y 、Y 、E=50mm整理可得：()()()()()()()()()()36331361352343314562425331561352243216565242175161252452186cos 3.079100cos 1.701100cos 9.9391010cos 1.7061031.50250cos 31.50cos 1.116g x x x x x g x x x x x g x x x x x g x x x x x x g x x x x x x x x x x g x x ----=-⨯≤=-⨯≤=-⨯+≤=-⨯+≤⎡⎤=++-+≤⎣⎦=-()()()4321352243219565241010cos 1.1711031.50x x x g x x x x x x --⨯+≤=-⨯+≤4.优化方法的选择由于该问题有6个设计变量，19个约束条件的优化设计问题，采用传统的优化设计方法比较繁琐，比较复杂，所以选用Matlab 优化工具箱中的fmincon 函数来求解此非线性优化问题，避免了较为繁重的计算过程。

5.数学模型的求解5.1.1将已知及数据代入上式，该优化设计的数学优化模型表示为：()()()1352456min 1131.52cos f x x x x x x x x =+++⎡⎤⎣⎦ Subject to:()()()()()()()()()()()()()()1121324253637484951051161263633136135234331456241520503.50601402201602205.807080150cos 3.079100cos 1.701100g x x g x x g x x g x x g x x g x x g x x g x x g x x g x x g x x g x x g x x x x x g x x x x x g --=-≤=-≤=-≤=-≤=-≤=-≤=-≤=-≤=-≤=-≤=-≤=-≤=-⨯≤=-⨯≤()()()()()()()()()()()253361352243216565242175161252452432186135224321956524cos 9.9391010cos 1.7061031.50250cos 31.50cos 1.1161010cos 1.1711031.50x x x x x g x x x x x x g x x x x x x x x x x g x x x x x g x x x x x x ----=-⨯+≤=-⨯+≤⎡⎤=++-+≤⎣⎦=-⨯+≤=-⨯+≤5.1.2运用Matlab 优化工具箱对数学模型进行程序求解首先在Matlab 优化工具箱中编写目标函数的M 文件 myfun.m,返回x 处的函数值f ：function f = myfun(x)f=(x(1)*x(3)*(1+x(5))+x(2)*x(4)*(1+31.5/x(5)))/(2*cos(x(6))) 由于约束条件中有非线性约束，故需要编写一个描述非线性约束条件的M 文件myobj.m ：function[c,ceq]=myobj(x)c=[2-x(1);x(1)-5;3.5-x(2);x(2)-6;14-x(3);x(3)-22;16-x(4);x(4)-22;5.8-x(5);x(5)-7;8-x(6);x(6)-15;(cos(x(6)))^3-3.079*10^(-6)*x(1)^3*x(3)^3*x(5);x(5)^2*(cos(x(6)))^3-1.701*10^(-4)*x(2)^3*x(4)^3;(cos(x(6)))^2-9.939*10^(-5)*x(1)^3*x(3)^3*(1+x(5));x(5)^2*(cos(x(6)))^2-1.706*10^(-4)*(31.5+x(5))*x(2)^3*x(4)^2;x(5)*(2*(x(1)+50)*(cos(x(6)))^2+x(1)*x(2)*x(5))-x(2)*x(4)*(x(5)+31.5);(cos(x(6)))^2-1.116*10^( -4)*x(1)^3*x(3)^2*(1+x(5));x(5)^2*(cos(x(6)))^2-1.171*10^(-4)*(31. 5+x(5))*x(2)^3*x(4)^2];ceq=[];最后在command window里输入：x0=[3;4;20;20;6;10];%给定初始值[x,fval,exitflag,output]=fmincon(@myfun,x0,[],[],[],[],[],[],@myobj) %调用优化过程5.1.3最优解以及结果分析运行结果如下图所示：由图可知，优化后的结果为：x=[2.0471 3.6059 18.5067 16 5.8 8]f(x)= 3.1742e+03圆整得：x=[2 3.5 19 16 5.8 8]f(x)= 3.1750e+036.结果对比分析如按常规设计，即x=[3 5 19 17 6.3 11]，则中心距为470，相比中心距减少了32.5%。

说明优化结果是成功的。

7.总结体会做优化难点在各个约束的确定，特别是非线性约束，需要对减速机的知识有较深的认识，另外Matlab软件的运用也相当重要，使用过程当中难免出现问题，要能够解决过程中出现的问题。

在将约束写进Matlab command window时要细心，不然会出现很多问题，得不到正确的结果。

8.参考文献[1]濮良贵,纪名刚. 机械设计. 8版. 北京:高等教育出版社,2006.[2] 孙桓,陈作模,葛文杰. 机械原理. 7版. 北京:高等教育出版社,2006.[3]胡新华.单级圆柱齿轮减速器的优化设计【J】组合机床与自动化加工技术，2006（7）。