全国各地中考试题压轴题精选讲座三
函数及图像与几何问题
【知识纵横】
函数（本节主要指一次函数、反比例函数）及图像与几何问题，是以函数为背景探求几
何性质，这类题很重要点是利用函数的性质，解决几个主要点的坐标问题，使几何知识和函数知识有机而自然结合起来，这样，才能突破难点。

但在解这类题目时，要注意方程的解与坐标关系，及坐标值与线段长度关系。

【典型例题】
【例1】（山西太原）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与3
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y x =-
+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A B C ，，的坐标．
（2）当CBD △为等腰三角形时，求点D 的坐标． （3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E D O A ，，，为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，直接写出BE CD
的值；如果不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）注意直线方程的解与坐标关系； （2）当CBD △为等腰三角形时，分三种情况讨论，． （3）以点E D O A ，，，为顶点的四边形是平行四边形
三种情形。

【例2】（浙江湖州）已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与
B C ，重合）
，过F 点的反比例函数(0)k
y k x
=>的图象与AC 边交于点E ．
（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
A y
x
D
C
O
B
【思路点拨】（1）用k 的代数式表示AOE △与FOB △的面积； （2）写出E F ，两点坐标（含k 的代数式表示），利用三角形面积公式解之；（3）设存在这样的点F ，将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．证ENM MBF ∴△∽△．
【例3】（浙江嘉兴）如图，直角坐标系中，已知两点(00)(20)O A ，，，，点B 在第一象限且OAB △为正三角形，OAB △的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ．
（1）求B C ，两点的坐标； （2）求直线CD 的函数解析式；
（3）设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长． 试探究：AEF △的最大面积？ 【思路点拨】（1）作BG OA ⊥于G ； （2）连结A C,证CD ‖OB.（3）通过 几何图形建立二次函数模型解之，注意 自变量的取值范围。

【例4】（07杭州市） 在直角梯形ABCD 中，90C ∠=︒，高6CD cm =（如图1）。

动点
,P Q 同时从点B 出发，点P 沿,,BA AD DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，
两点运动时的速度都是1/cm s 。

而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C 。

设,P Q 同时从点B 出发，经过的时间为()t s 时，BPQ ∆的面积为()2y cm （如图2）。

分别以,t y 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P 在AD 边上从A 到D 运动时，y 与t 的函数图象是图3中的线段
MN 。

（1）分别求出梯形中,BA AD 的长度； （2）写出图3中,M N 两点的坐标；
（3）分别写出点P 在BA 边上和DC 边上运动时，y 与t 的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象。

【思路点拨】（1）设动点出发t 秒后，点P 到达点A 且点Q 正好到达点C 时，由图3知此时△ABC 面积为30. （2）结合（1）的结论写出,M N 两点的坐标；（3）考虑当点P 在BA 上时及当点P 在DC 上时两种的y 关于t 的函数关系式.
【学力训练】
1、(07台州市) 如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处．已知折叠55CE =，且
3tan 4
EDA ∠=
． （1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；
（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x
轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．
C
B A
D
（图1）
C
B
A D
P
Q
（图2）
O
y
t
30
（图3）
O
x
y C
B E
D
2、（浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ；
(1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；
(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由。

3、（江苏盐城）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB 是等边三角形,点A
的坐标是（0，4），点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把△AOP 绕
着点A 按逆时针方向旋转，使边AO 与AB 重合，得到△ABD . （1）求直线AB 的解析式；
（2）当点P 运动到点（3,0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标； （3）是否存在点P ,使△OPD 的面积等于3
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,若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
y x
O
B
C
A
T
y
x
O
B
C
A
T
图1
x
y B
A
O D P
图2
x
y
B
A
O
4、（四川乐山）在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的
圆过点C，若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标X A,X B是关于X的方程2(2)10
x m x n
-++-=的两根:
(1)求m，n的值;
(2)若△ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数的解析式;
(3)过点D任作一直线`l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则
11 CM CN
+的
值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.
A
C
O B
N
D
M
l。