对概率波的进一步理解 【探究导引】 光和实物粒子都具有波粒二象性，光波和物质波都是概率波.波 动性和粒子性是对立的还是统一的？请思考以下问题： (1)单个粒子的运动位置是否可以预先确定？ (2)大量粒子的运动位置是否可以预言？ (3)概率波怎样解释波粒二象性？
【要点整合】 1.单个粒子运动的偶然性 我们可以知道粒子落在某点的概率，但不能预言粒子落在什么 位置，即粒子到达什么位置是随机的，是预先不能确定的. 2.大量粒子运动的必然性 由波动规律我们可以准确地知道大量粒子运动时的统计规律， 因此我们可以对宏观现象进行预言.
不能像宏观物体的运动那样通过确定的轨迹来描述，而是只能
通过概率波进行统计性的描述.
5.经典物理和微观物理的区别 在经典物理学中，可以同时用位置和动量精确地描述质点的运 动，如果知道质点的加速度，还可以预言质点在以后任意时刻 的位置和动量，从而描绘它的运动轨迹．
在微观物理学中，不确定关系告诉我们，如果要更准确地确定粒 子的位置(即Δx很小)，那么动量的测量一定会更不准确(即Δp 更大)，即不可能同时准确地知道粒子的位置和动量．因而也就 不可能用“轨迹”来描述粒子的运动．但是，我们可以准确地知 道大量粒子运动时的统计规律．一个宏观系统总是包含着大量粒 子，因此我们仍然能够对宏观现象进行预言．例如，当粒子数很 少时，我们不能预言粒子通过挡板上的狭缝后落在屏上的位置， 但却可以准确知道粒子落在屏上某点的概率；概率大的位置正好 是某种波通过狭缝发生衍射时产生亮纹的位置．
【典例1】(2012·大庆高二检测)在做双缝干涉实验中，在观 察屏的某处是亮纹，则对光子到达观察屏的位置，下列说法正 确的是( ) A.到达亮纹处的概率比到达暗纹处的概率大 B.到达暗纹处的概率比到达亮纹处的概率大 C.该光子可能到达光屏的任何位置 D.以上说法均有可能
【思路点拨】解决本题关键要明确概率波的知识，知道概率波 的规律就是统计规律，单个光子是不能确定落在哪个点上的， 我们只能得出大量光子的落点区域. 【规范解答】选A、C.根据概率波的含义，一个光子到达亮纹 处的概率要比到达暗纹处的概率大得多，但并不是一定能够到 达亮纹处，故A、C正确.
二、概率波 1.光波是一种概率波 光的波动性不是光子之间_相__互__作__用__引起的，而是光子自身 _固__有__的性质，光子在空间出现的概率可以通过波动的规律 确定，所以，光波是一种概率波.
2.物质波也是概率波 对于电子和其他微观粒子，单个粒子的位置是_不__确__定__的，但 在某点附近出现的概率的大小可以由_波__动__的规律确定.对于大 量粒子，这种概率分布导致确定的宏观结果，所以物质波也是 概率波.
【想一想】1949年，前苏联物理学家费格尔曼做了一个非常精 确的弱电子流衍射实验，如图所示是实验得到的衍射图样，衍 射图样的结果说明了什么？
提示：电子几乎是一个一个地通过双缝，底片上出现一个一个 的点子(显示出点子具有粒子性).开始时底片上的点子无规律分 布，随着电子数的增多，逐渐形成典型的双缝衍射图样.该实验 说明衍射图样不是电子相互作用的结果，而是来源于单个电子 具有的波动性.衍射图样是大量电子出现概率的统计结果.衍射 图样说明每个电子到达底片上各点有一定的概率，所以德布罗 意波是概率波.
3.位置和动量的不确定性关系：ΔxΔp≥ h
由Δ要准确地确定粒子的
4
位置，动量的不确定性就更大；反之，要准确地确定粒子的动
量，那么位置的不确定性就更大.如将狭缝变成宽缝，粒子的
动量能被精确测定(可认为此时不发生衍射)，但粒子通过缝的
位置的不确定性却增大了；反之取狭缝Δx→0，粒子的位置测
【总结提升】关于光子到达区域的理解 光具有波动性，光的波动性是统计规律的结果，对某个光子我 们无法判断它落到哪个位置，我们只能判断大量光子的落点区 域．同时，我们要明确在暗条纹处，也有光子到达，只是光子 数很少；对于通过单缝的大量光子而言，绝大多数光子落在中 央亮纹处，只有少数光子落在其他亮纹处及暗纹处．
【特别提醒】(1)不确定性关系不是说微观粒子的坐标测不准， 也不是说微观粒子的动量测不准，更不是说微观粒子的坐标和 动量都测不准，而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测准. (2)普朗克常量是不确定关系中的重要角色，如果h的值可忽略 不计，这时物体的位置、动量可同时有确定的值，如果h不能 忽略，这时必须考虑微粒的波粒二象性.h成为划分经典物理学 和量子力学的一个界线.
【典例2】质量为10 g的子弹与电子的速率相同，均为 500 m/s，测量准确度为0.01%，若位置和速率在同一实 验中同时测量，试问它们位置的最小不确定量各为多少？ (电子质量m=9.1×10-31 kg)
【思路点拨】解答本题时应把握以下两点： 关键点 (1)由Δp=mΔv，求子弹和电子动量的不确定量. (2)由不确定关系，求子弹和电子位置的最小不确定量.
2.粒子动量的不确定性 微观粒子具有波动性，会发生衍射.大部分粒子到达狭缝之前 沿水平方向运动，而在经过狭缝之后，有些粒子跑到投影位置 以外.这些粒子具有与其原来运动方向垂直的动量.由于哪个粒 子到达屏上的哪个位置是完全随机的，所以粒子在垂直方向上 的动量也具有不确定性，不确定量的大小可以由中央亮条纹的 宽度来衡量.
定精确了，但衍射范围会随Δx的减小而增大，这时动量的测
定就更加不准确了.
4.微观粒子的运动没有特定的轨道 由不确定关系ΔxΔp≥ h 可知，微观粒子的位置和动量是不
4
能同时被确定的，这也就决定了不能用“轨迹”的观点来描述
粒子的运动，因为“轨迹”对应的粒子某时刻应该有确定的位
置和动量，但这是不符合实验规律的.微观粒子的运动状态，
【规范解答】测量准确度也就是速度的不确定性，故子弹、电
子的速度不确定量为Δv=0.05 m/s,子弹动量的不确定量Δp1
=5×10-4 kg·m/s,电子动量的不确定量Δp2=4.6×10-32
kg·m/s, h ,
4p
由Δx≥ 子弹位置的最小不确定量Δx1=
6.631034 4 3.14 5104
3.概率波体现了波粒二象性的和谐统一 概率波的主体是光子、实物粒子，体现了粒子性的一面；同时 粒子在某一位置出现的概率受波动规律支配，体现了波动性的 一面，所以说概率波将波动性和粒子性统一在一起.
【特别提醒】(1)在双缝干涉和单缝衍射的暗条纹处也有光子 到达，只是光子数量“特别少”，很难呈现出亮度． (2)要理解统计规律.对统计规律的认识是理解概率波的前提．
三、不确定性关系 1.定义：在经典物理学中，一个质点的位置和动量是可以同时 测定的；在微观物理学中，要同时测出微观粒子的位置和动量 是不太可能的，这种关系叫_不__确__定__性__关系. 2.表达式：Δ__x_Δ__p_≥ h . 其中用Δx表示粒子位置的不确定
4
量，用Δp表示在x方向上动量的不确定量，h是普朗克常量.
【易错分析】本题易错选项及错误原因分析如下：
易错选项 A、B C
错误原因
误认为牛顿运动定律适用于光子的运动，实际 上光子不是宏观粒子，牛顿运动定律不适用， 光子的运动具有不确定性.
电子是微观粒子，其位置和动量具有不确定关 系，不可能同时确定.
【案例展示】对于微观粒子的运动,下列说法中正确的是( ) A.不受外力作用时光子就会做匀速运动 B.光子受到恒定外力作用时就会做匀变速运动 C.只要知道电子的初速度和所受外力,就可以确定其任意时刻的 速度 D.运用牛顿力学无法确定微观粒子的运动规律
【规范解答】选D.光子不同于宏观力学的粒子，不能用宏观粒 子的牛顿力学规律分析光子的运动，选项A、B错误；根据概 率波、不确定关系可知，选项C错误，故选D.
概率波 不确定性关系
一、经典的粒子和经典的波 1.经典粒子 (1)含义：粒子有一定的_空__间__大__小__，具有一定的_质__量__，有的 还带有_电__荷__. (2)运动的基本特征：遵从_牛__顿__运__动__定__律__，任意时刻有确定的 位置和_速__度__，在时空中有确定的_轨__道__. 2.经典的波 (1)含义：在空间是_弥__散__开__来__的. (2)特征：具有_频__率__和_波__长__，即具有时空的_周__期__性__.
4
界的影响显著，对宏观世界的影响可忽略不计．也就是说，宏 观世界中的物体质量较大,位置和速度的不确定范围较小，可同 时较精确测出物体的位置和动量. (3)在微观世界中，粒子质量较小，不能同时精确地测出粒子的 位置和动量，也就不能准确地把握粒子的运动状态了．
微观粒子运动的不确定性 微观粒子的运动具有不确定性，而宏观物体的运动是确定的， 解答微观粒子的运动问题时，应注意以下两点： (1)牛顿运动定律不适用于微观粒子的运动. (2)微观粒子的位置和动量不可能同时确定，也就是说微观粒 子的运动状态不能准确地描述.
m
=x12 .046×316.1.0643-3141.m603,41电0子32 m位置1.的15最1小03不m.确定量
答案:1.06×10-31 m 1.15×10-3 m
【总结提升】理解不确定关系时应注意的问题 (1)从本例题可见对子弹这样的宏观物体，不确定量是微不足道 的，对测量准确性没有任何限制，但对微观粒子却是不可忽略 的. (2)不确定性关系ΔxΔp≥ 是h 自然界的普遍规律，对微观世
对不确定关系的理解 【探究导引】 如图所示，一束电子以速度v沿Ox轴射向狭缝时发生衍射,电 子在中央主极大区域出现的几率最大，分析此图，思考以下 问题：
(1)狭缝的宽度a和中央主极大区域的宽度说明了什么？ (2)位置和动量的不确定关系是怎样的？
【要点整合】 1.粒子位置的不确定性 单缝衍射现象中，入射的粒子有确定的动量，但它们可以处于 挡板左侧的任何位置，也就是说，粒子在挡板左侧的位置是完 全不确定的.
【想一想】对微观粒子的运动分析能不能用“轨迹”来描述？ 提示：微观粒子的运动遵循不确定关系，也就是说，要准确确 定粒子的位置，动量(或速度)的不确定量就更大；反之，要准确 确定粒子的动量(或速度)，位置的不确定量就更大，也就是说不 可能同时准确地知道粒子的位置和动量.因而不可能用“轨迹” 来描述粒子的运动.