b（i i 0,1,2,, m）应该使
n
n
Q ( yi yˆi )2 [ yi (b0 b1x1i b2x2i bm xmi )]2 min
i 1
i 1
由求极值的必要条件得：
Q

b0

n
2
i 1
( yi

yˆi )
0


回归方程： yˆ ＝ a + b x
a 称为回归截距 b 称为回归系数 i 称为随机误差
第二节 线性回归方程
回归参数的计算——最小二乘法
期望拟合的线性回归方程与试验资料的误差
最小，拟合的误差也称作离回归平方和或残 差 ，可以利用数学中求极值的方法解出 a 和 b 而使得误差平方和为最小。
U b2 (x x)2 b2SSx bSPxy SPx2y / SSx
误差平方和: SSe SSy SSr
或 Q T U
第三节 回归关系的显著性检验
利用方差分析表
变异来源 自由度 平方和
回归
１
U
误差
n-2
Q
总变异 n-1
T
均方
sU2 se2
Ｆ值
F0.05
sU2 se2
用光照强度来预测净光合强度是合理的。
第四节 预测值的置信区间
由x预测y时，y有一定的误差，其标准误差为：
sy se
1 1 x x 2
n SSx
因此由x预测y时，y 的95%置信区间为：
yˆ t0.05 sy
实例： 由x预测y的预测区间
第一步：计算当x=2500时， y 的点估计值：
第五章 线性回归分析
一、一元线性回归 二、一元线性回归方程 三、回归关系的显著性检验 四、置信区间 五、多元线性回归 六、回归诊断
第一节 一元线性回归
生产实践中，常常能找到一个变量与另外一
个变量之间的关系：小麦的施肥量与产量、 水稻的株高和穗长、冬天的温度与来年病虫 害的发生程度等等。
回归分析就是找出合适的回归方程，从而用
y yˆ y [( y bx) bx] 即 ( y yˆ) ( y y) b(x x)
( y yˆ)( yˆ y) b(x x)[( y y) b(x x)] b[(x x)( y y) b(x x)2 ]
第三节 回归关系的显著性检验
式中β 0 β 1 β 2 … β m 为（偏）回归系数
多元线性回归方程
yˆ b0 b1x1 b2x2 bmxm
式中b0 b1 b2 … bm 为（偏）回归系数的估计值
第五节 多元线性回归分析
二、参数估计方法——最小二乘准则
根据最小二乘法原理，i (i 0,1,2,, m) 的估计值
第四步：结论 有95％的把握预测当树冠的光照强度为 2500时，净光合作用的强度在338.95到 517.30之间。
第五节 多元线性回归分析
一、多元线性回归分析概述
上面讨论的只是两个变量的回归问题， 其中因变量只与一个自变量相关。但在大 多数的实际问题中，影响因变量的因素不 是一个而是多个，我们称这类多自变量的 回归问题为多元回归分析。
8 10810 1351
总变异
9 455595
F检验结论：回归关系达极显著，可得线性回归方程
yˆ 190.955 0.094868x
用光照强度估测净光合强度是合理的。
实例：P161
2、t 检验
sb
se SSx
0.005229
Q n2 SSx
10810 10 2 49421000
着不管 xi为什么值， yi 都不发生实质性变化；换言 之，x和 y 之间没有显著的回归关系。
检验线性回归关系是否存在，就是检验建立回归
模型的样本是否来自存在回归关系的总体，即
H0 ： ＝0 vs HA： ≠0
只有在此检验结果为显著时，用 a 估计 ，用 b
估计 ，用 yˆ 估计 y 才是有意义的。
yˆ 190.955 0.094868 2500 428.125
第二步：求y的标准误差：
sy
36.76
1 1 2500 30702
10 49421000
38.67
实例： 由X预测Y的预测区间
第三步：求y的置信区间：
yˆ t0.05 sy 428.125 2.03638.67 338.95 yˆ t0.05 sy 428.125 2.03638.67 517.30
三个平方和的计算公式:
总平方和: T SSy (y y)2 y2 ( y)2 / n 回归平方和: U SSr (yˆ y)2
a y bx, yˆ a bx, yˆ y bx bx, yˆ y b(x x), （yˆ y）2 b2 (x x)2,
三、假设检验
1、回归方程的假设检验
原假设 H0 ：β 1＝β 2＝ … ＝β m＝0
F统计量为： F U / m Q /(n m 1)
回归平方和：U ( yˆi y)2 自由度：m
误差平方和： Q ( yi yˆi )2 自由度：n-m-1
第五节 多元线性回归分析
y
可分解为两个部分：
y y( y yˆ) ( yˆ y)
xx
离均差 随机误差 回归引起的偏差
第三节 回归关系的显著性检验
对于任一个点有：( y y) ( y yˆ) ( yˆ y) 两边平方得：
(y y)2 (y yˆ)2 2(y yˆ)( yˆ y) (yˆ y)2
这里着重讨论简单而又最一般的线性 回归问题，这是因为许多非线性的情形可 以化为线性回归来做。多元线性回归分析 的原理与一元线性回归分析完全相同，但 在计算上却要复杂得多。
第五节 多元线性回归分析
一、多元线性回归分析概述
多元线性回归模型
y 0 1x1 2x2 mxm
(1)式除以 n 得： a b( x / n) y / n
(3)
于是： a y / n b( x / n) y bx (4)
(3)式各项乘 x：ax b(x)2 / n x y / n (5)
(2)-(5)式得：b[ x2 ( x)2 / n] xy x y / n
2、回归系数的假设检验
1）t检验 原假设 H0 ：β i＝0
统计量为t：
t bi Sbi
其中： Sbi S y c(i1)(i1) Sy Q n m 1
实例：
计算公式： 二级计算：
SSx x2 x2 / n 14367000 307002 /10
49421000
实例：
计算公式： 二级计算：
SPxy

xy
x n
y
19492000 3070 4822 10
4688460
实例：
回归系数 b :
研究光照强度与净光合强度的关系
光照 强度X
300 700 1000 1500 2200 3000 4000 5000 6000 7000
净光合 强度Y
140 260 300 380 410 492 580 690 740 830
一级计算： x 30700 y 4822 x2 143670000 y2 2780764 xy 19492000 n 10
x21
x22

x2m

b0

b1

0

1

x31
x23

x3m

B


b2



2

xn1 xn2 xnm
bm
n
解得： B (X ' X )1 X 'Y
第五节 多元线性回归分析
对数据资料所有点的求和得：
(y y)2 (y yˆ)2 2(y yˆ)( yˆ y) (yˆ y)2
证明：上式右边的中间项为0：
yˆ a bx (y bx) bx y b(x x) 即 (yˆ y) b(x x)
Q
b j
n
2 ( yi
a 1

yˆi )x ji
0
( j 1,2,, m)
第五节 多元线性回归分析
二、参数估计方法——最小二乘准则
采用矩阵形式： Y = XB+E
Y
y1


y
2

X
1 1 1


y
n



1
x11 x12 x1m

a

bx)

2(
y

na

b
x)

0
Q b

2 (y

a

bx) x

2(
xy

a
x

b
x2)

0
整理得正规方程组：
na b x y
a x b x2 xy
第二节 线性回归方程
解正规方程组： na b x y (1) a x b x2 xy (2)
一个变量来预测另一个变量。
一元线性回归：最简单的回归关系，即一个