(3) kO O
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
§1 消元法
当s=n时，若D≠0，则方程组有唯一解，并可由Cramer法则求解。
当s=n时，若D = 0，利用Cramer法则无法判断方程组是否有解。 当s≠n时，没有求解线性方程组的有效方法。
线性方程组 ● 线性方程组的矩阵表示法
§1 消元法
(i) 若 r = n，则阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1n xn d1
c22 x2 c2n xn
d2
(cii 0)
cnn xn dn
方程组有唯一解。
线性方程组
§1 消元法
(ii) 若 r < n，则阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1r xr c x 1,r1 r1 c1n xn d1
d2 c2,r1xr1 c2n xn (cii 0)
crr xr dr c x r,r1 r1 crn xn
方程组有无穷多解。
线性方程组
例题：
例1、 解线性方程组
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
例2、 解线性方程组
5x1 x2 2x3 x4 7 2x1 x2 4x3 2x4 1 x1 3x2 6x3 5x4 0
➢ 用一个非零的数乘以矩阵的某一行； ➢ 把矩阵某一行的倍数加到矩阵的另一行；
➢ 交换矩阵中某两行的位置；
方程组的初等变换相当于对系数矩阵做相应的初等行变换。
线性方程组
§1 消元法
● 增广矩阵
线性方程组与增广矩阵
由线性方程组的系数和右端常数组成的矩阵
是一一对应的
a11
A
a21
a12
a22
c22 x2 c2r xr c2,r1xr1 c2n xn
d2
(cii 0)
crr xr c x r,r1 r1 crn xn dr
可改写为
自由未知量
c11x1 c12 x2 c1r xr d1 c1,r1xr1 c1n xn
c22 x2 c2r xr
的对应分量都相等，即
ai bi , (i 1, 2, , n)
就称这两个向量相等，记作
线性方程组
§2 n维向量空间
● 向量的运算
加法： (a1 b1, a2 b2 ,, an bn ) 减法： (a1 b1, a2 b2 ,, an bn ) 数乘： k (ka1, ka2 ,, kan ), k P
bs
系数矩阵
未知向量
右端向量
线性方程组
§1 消元法
● 线性方程组的初等变换
➢ 用一个非零的数乘以某一个方程； ➢ 把某一个方程的倍数加到另一个方程；
方程组的初等变换 是否会改变线性方
程组的解？
➢ 互换两个方程的位置；
● 矩阵的初等行变换
定理：方程组的初等变换将一个 线性方程组变为一个与它同解的 线性方程组。
线性方程组
第三章 线性方程组
线性方程组
主要内容：
➢ 消元法 ➢ n 维向量空间 ➢ 线性相关性 ➢ 矩阵的秩 ➢ 线性方程组有解的判断定理 ➢ 线性方程组有解的结构
线性方程组
§1 消 元 法
考虑一般的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
§1 消元法
线性方程组
定理：在齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22 x2
a2n xn
0
as1x1 as2 x2 asn xn 0
中，如果 s < n，那它必有非零解。
例3、 解齐次线性方程组
25xx11xx22
2x3 x4 4x3 2x4
定理：线性方程组与以下形式的阶梯形线性方程组同解。
c11x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1
c22 x2 c2r xr c2nபைடு நூலகம்xn d2
crr xr crn xn 0
dr d r 1
(cii 0)
0 0
0 0
线性方程组
§1 消元法
当 dr1 0 时，该线性方程组无解。 当 dr1 0 时，该方程组有解，并分两种情况：
0 0
x1 3x2 6x3 5x4 0
§1 消元法
线性方程组 ● n 维向量
§2 n维向量空间
§2 n维向量空间
定义：数域P中n个数组成的有序数组(a1, a2 ,, an ) 称为数域P上的n维
向量，其中ai称为该向量的第i个分量。
● 向量相等
如果两个n维向量
(a1, a2 ,, an ), (b1,b2 ,,bn )
向量加法满足以下四条运算规律
交换律： ( ) ( )
结合律：
零向量：O = (0，0，…，0)
有零元： O 有负元： ( ) O
负向量：- = (-a1，-a2，…，-an)
线性方程组
§2 n维向量空间
向量数乘满足以下两条运算规律
有单位元： 1 结合律： k(l ) (kl)
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
Ax b
其中
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
as1 as2 asn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
定义：若V是数域P中n维向量的全体，若
考虑到上面定义的加法和数量乘法，则称 V为数域P上的n维向量空间，记为P n。
向量加法与数乘共同满足以下两条运算规律
分配律： k( ) k k
分配律： (k l) k l
由以上运算规律可推导出向量加法与数乘的以下运算性质
(1) 0 O (2) (1)
as1 as2
称为该线性方程组的增广矩阵。
a1n b1
a2n
b2
A
b
asn bs
一个线性方程组的增广矩
阵可通过初等行变换化为
怎样的简单形式？
定理：对线性方程组的增广矩阵 A 进行初等行变换化为 B ， 则以B 为增广矩阵的线性方程组与原线性方程组同解。
线性方程组
§1 消元法
定理：任何一个s×n阶矩阵A，都可通过一系列初等行变换 化为一个阶梯形矩阵。