3.有理数的乘除法
一．主要知识点
1.有理数乘法法则：
⑴两个有理数相乘：同号得正，异号得负；并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0 ⑵多个有理数相乘：可以从左至右依次相乘，因数有0，则积为0
⑶乘积是1的两个数互为倒数，若b a ，互为倒数，则1=ab ；b a 1=，a b 1= 2.有理数乘法一般步骤：
⑴先观察各因式中有没有0，有0则乘积为0；若没有0，先确认符号
⑵确定乘积的符号，若因数是两个数，则同正异负；若因数不止两个数；要全部考虑， 因数中负数个数为偶数个时，乘积为正，因数中负数个数为奇数个时，乘积为负 ⑶确定符号后，再把绝对值相乘
3.有理数乘法运算律：
⑴乘法交换律：ba ab =
⑵乘法结合律：)()(bc a c ab =
⑶乘法分配律：ac ab c b a +=+)(
4.有理数的除法：
法则一：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数 b
a b a 1⋅=÷)0(≠b 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不为0的 数都得0
注：运用法则一，将除法全部转化为乘法，然后运用法则二，进行计算
除法性质：)(bc a c b a ÷=÷÷
5.有理数乘除混合运算：只有乘除法时从左至右依次计算，有括号的先算括号里面的
6.有理数乘除混合运算的一般步骤：
⑴同一级运算中，要从左到右依次计算
⑵乘除混合运算时，将除法转换为乘法，算式化成连乘的形式，带分数化成假分数，小 数都统一成分数
二．解题方法与思路
1.复杂的因数相乘：
⑴分数与小数：算式中既有小数又有分数时，可根据题目将其统一为小数或统一为分数 ⑵带分数的乘法：算式中有带分数，应该把带分数化为假分数后再相乘
2.有理数乘除混合运算确定符号，看算式中负因数的个数，“奇负偶正”
3.乘法运算律的推广：
⑴乘法交换律和结合律适用于三个或三个以上因数相乘，任意交换位置，积不变
⑵乘法分配律：不止适用于3个数，可以更多am ac ab m c b a +++=+++......)......( ⑶分配律的逆用：对于某些乘法算式，只有逆用分配律才能使计算更简便
4.乘除混合计算时观察重点有：①因数中有无0因数
②观察能否使用运算律
③观察有无互为倒数的数
5.相反数、绝对值、倒数，与有理数的乘除运算，经常放在一起，应正确理解
三．考点例题
考点一：考查有理数乘法法则
例1.计算：⑴=-⨯-)5()6( ⑵=⨯-4
11)21( ⑶⨯-)4(0.25＝ 例2.求下列各数的倒数：4-； 98-； 125.0； 3
21； 96
考点二：多个有理数相乘的运算
例3.计算：⑴=-⨯-⨯-)4()3()2( ⑵=-⨯-⨯⨯-)6()2(3)5( ⑶ )6(0)2()1(-⨯⨯-⨯-
例4.计算：⑴=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-⨯-145712)2.4()6.5( ⑵)25.4(0992)5()4(+⨯⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯-⨯+
例5.在6-，5-，1-，3，4，7中任取三个数相乘，所得的积最小为 ，最大为 考点三：有理数乘法运算律（利用交换律、结合律、分配律）
类型一：互为倒数的两数结合 类型二：能互相约分的数结合
例6.计算：743157)3(⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯- 例7.计算：15
1189524157823⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-
类型三：能凑成整数、整十、整百的两数结合 类型四：逆用乘法分配律，提公因数
例8.计算：)8()4(2)5()25()125(-⨯-⨯⨯-⨯-⨯- 例9.计算：⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯7467441.27459.3
类型五：把整数或分数拆成两个数的和或差，再利用乘法分配律
例10.计算：⑴282727565557⨯+⨯
（用拆整数的方法） ⑵282727565557⨯+⨯（用拆分数的方法）
考点四：关于相反数、绝对值、倒数的运算
例11.已知有理数m d c b a 、、、、，他们之间有如下关系：b a 、互为相反数，d c 、互为 倒数，m 得绝对值为2，则cd m cd b a -++)(的值是多少？
考点五：定义一种新运算
例12.现定义一种新运算，满足b a ab b a +-=*，例如：5232323=+-⨯=*，利用这个
法则，请你计算：⑴58*； ⑵3221*⎪⎭⎫ ⎝⎛-
考点六：有理数除法
类型一：有理数除法法则（除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数）
例1.计算各题：⑴)12()36(-÷-= ⑵)3
1()24(-÷-= ⑶)25.0(75.0-÷= 类型二：分数化简（除法以分数形式表示）
例2.化简下列个数：⑴62--= ⑵93--= ⑶321
-
= ⑷b a ---= 考点七：有理数加减乘除混合运算
类型一：乘除混合运算
例1.计算：⑴341121353÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛- ⑵2111227317713÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯
类型二：加减乘除混合运算（先算括号里，再算乘除，最后算加减）
例2.计算：⑴()22151-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷+- ⑵⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯---+-12121)4(6
132
类型三：加减乘除混合运算与数轴、绝对值等知识的结合
例3.已知有理数n m ，，且在数轴上表示m 的点距原点的距离为4，21=
n ，求)(n m m
n +值。
四．通关检测
1.计算下列各题：
⑴)7(417-⨯ ⑵83)4.0(⨯- ⑶)12(216131-⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛+- ⑷731312)313(÷÷-
⑸⎪⎭⎫ ⎝⎛÷-12291236 ⑹⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-724)64(317)64( ⑺)4(811655.2-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷-
⑻%252155.2425.041)370(⨯+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯- ⑼5.031105.021215.03211÷⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-
2.若00>>+ab b a ，，则b a 、两数（ ）
A.同为正数
B.同为负数
C.异号
D.不确定
3.若3)2(⨯-=x ，则x 的倒数是（ ） A.61- B.6
1 C.6- D.6 4.若0=b
a ，则一定有（ ） A.00≠=a
b 且 B.00≠=b a 且 C.00==b a 或 D.0==b a
5.绝对值不大于5的所有负整数的积的符号为 ；积的绝对值是
6.若有理数b a ,互为相反数，则=+)(b a cd
7.根据气象资料表明，海拔高度每增加1000m ，气温就下降大约6℃，现在10000m 高空的 气温大概是-35℃，则地面的气温大概是 ℃
8.若三个有理数满足0>xyz ，则=++z z
y y
x x
9.在一个秘密俱乐部中，有一种特殊的算账方法：b a b a 43-=*，聪明的小丁通过计算 )4(2-*发现了这一秘密，他是这样算的：“22)4(423)4(2=-⨯-⨯=-*”，假设规定： 132--=*b a b a ，则=-*)4(2
10.若有理数c b a ,,有
1=++c c b b a a ，求：abc
abc 的值
11.已知b a ,都是有理数，且031=-++b a ，则)()()(b b a b a -÷+⋅-的值是多少？
12.已知一个数的相反数为321，另一个数的倒数为2
5-，则这两个数的和的15倍是多少？
13.规律探究题：
Ⅰ计算：=÷642 ，=÷664422 ，=÷666444222 ，
根据上面结果中存在的规律猜测：=÷
6
2013220134201366...66622...22244...444个个个 Ⅱ观察下列等式：
211211-=⨯； 3121321-=⨯； 4
131431-=⨯ 将以上三个等式两边分别相加，得：4341313121211431321211=-+-+-=⨯+⨯+⨯ ⑴猜想并写出：=+)
1(1n n . ⑵直接写出下列各式的计算结果：
①
=⨯++⨯+⨯201420131......321211 . ②=+++⨯+⨯+⨯)
1(1......431321211n n . ⑶探究并计算：
=⨯++⨯+⨯+⨯201420121......861641421 .。