专业实验报告（2）直线一级倒立摆根轨迹校正控制原理基于根轨迹法校正的基本思想是：假设系统的动态性能指标可由靠近虚轴的一对共轭闭环主导极点来表征，因此，可把对系统提出的时域性能指标的要求转化为一对期望闭环主导极点。

确定这对闭环主导极点的位置后，首先根据绘制根轨迹的相角条件判断一下它们是否位于校正前系统的根轨迹上。

如果这对闭环主导极点正好落在校正前系统的根轨迹上，则无需校正，只需调整系统的根轨迹增益即可；否则，可在系统中串联一个超前校正装置。

常见的校正器有超前校正、滞后校正以及超前滞后校正等。

2. 实验方法（1）直线倒立摆建模、仿真与分析利用牛顿-欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型；依照根轨迹设计的步骤得到系统的控制器，利用MATLAB Simulink中的工具进行仿真分析。

（3）直线一级倒立摆根轨迹校正控制利用MATLAB Simulink来实现根轨迹校正控制参数设定和仿真，并利用该参数来设定只限一级倒立摆的根轨迹校正控制器值，分析和仿真倒立摆的运行情况。

3. 实验装置直线单级倒立摆控制系统硬件结构框图如图1所示，包括计算机、I/O设备、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件等几大部分，组成了一个闭环系统。

图1 一级倒立摆实验硬件结构图对于倒立摆本体而言，可以根据光电码盘的反馈通过换算获得小车的位移，小车的速度信号可以通过差分法得到。

摆杆的角度由光电码盘检测并直接反馈到I/O设备，速度信号可以通过差分法得到。

计算机从I/O设备中实时读取数据，确定控制策略（实际上是电机的输出力矩），并发送给I/O设备，I/O设备产生相应的控制量，交与伺服驱动器处理，然后使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。

图2是一个典型的倒立摆装置。

铝制小车由6V 的直流电机通过齿轮和齿条机构来驱动。

小车可以沿不锈钢导轨做往复运动。

小车位移通过一个额外的与电机齿轮啮合的齿轮测得。

小车上面通过轴关节安装一个摆杆，摆杆可以绕轴做旋转运动。

系统的参数可以改变以使用户能够研究运动特性变化的影响，同时结合系统详尽的参数说明和建模过程，我们能够方便地设计自己的控制系统。

图2 一级倒立摆实验装置图上面的倒立摆控制实验仪器，包括：摆杆机构、滑块导轨机构基座，其特征在于：其蜗杆通过轴承固定于基座上，与之啮合的涡轮扇的轴通过轴承固定于动座下边，大皮带轮轴一端联接电机，另一端电位计由支座固定于动座上并电机共轴，大皮带轮与2个小皮带轮通过皮带连结，并通过轴承固定于动座之上；滑块固定联接于皮带轮之间的皮带上，同时滑块与动座固定的导轨动配合；摆杆机构通过下摆支座与滑块绞接；控制箱连电位计，电机。

4. 实验容及步骤1）设计根轨迹校正控制器。

（1）确定闭环期望极点dS 的位置，由最大超调量2(1)10%p M e ζζπ--=≤，可以得到0.5912ζ≥，取0.6ζ=， 由cos ζθ=得0.9273θ=rad ，其中θ为位于第二象限的极点和原点的连线与实轴负方向的夹角。

图3 性能指标与根轨迹关系图又由40.5s nt sζω=≤可以得到13.3333n ω≥，取13.5n ω=，于是可以得到期望的闭环极点为13.5(cos sin )8.110.8j j θθ-±≈-±*。

（2）未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为1()(1)1cc cs z aTs G s a Ts s p ++==>++。

（3）计算超前校正装置应提供的相角，已知系统原来的极点在主导极点产生的滞后相角和为1113.5sin 13.5sin ()tan tan 13.5cos 7.74613.5cos 7.7462.1362d G s θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭≈，所以一次校正装置提供的相角为3.1416 2.1362 1.0054φ=-=。

（4）设计超前校正装置，已知0.9273θ=，对于最大的a 值的γ角度1()0.60452γπθφ=--=。

图4 根轨迹校正计算图按最佳确定法作图规则，在上图中画出相应的直线，求出超前校正装置的零点和极点，分别为7,24c p z z =-=-，校正后系统的开环传递函数为2(7) 6.122()()2460.06c K s Q KG s G s s s +==+-。

（5）由幅值条件()1d Q s =，反馈为单位反馈，所以可得52.71k =。

（6）于是我们得到了系统的控制器52.71(7)()24s G s s +=+（2）直线倒立摆建模、仿真与分析1）应用经典力学的理论，结合实验手册建立直线一级倒立摆系统的抽象数学模型；（3）直线一级倒立摆PID控制实验1）PID控制参数设定及仿真在Simulink中建立如图5所示的直线一级倒立摆模型。

图5 基于根轨迹校正控制的直线一级倒立摆Simulink仿真模型点击“Simulation”菜单，在下拉菜单中选择“Simulation Parameters”，在下面窗口中设置“Simulation time”以及“Solver options”等选项。

设置仿真步长为0.01秒。

图6 Simulation Parameters界面点击运行仿真，双击“Scope”模块观察仿真结果：图7 直线一级倒立摆的根轨迹校正仿真结果（一阶控制器）可以看出，系统能较好的跟踪阶跃信号，但是存在一定的稳态误差，修改控制器的零点和极点，可以得到不同的控制效果，多次改变参数后，选取仿真结果最好的参数进行根轨迹校正控制物理实验。

2）根轨迹校正控制实验双击快捷方式“元创兴便携式倒立摆实物控制”，在左侧的SelectExperiment模块中选择实验编号2，然后单击右侧对应的Enabled Subsystem模块后出现以下界面。

图8 根轨迹校正实验模块组成把仿真得到的参数输入根轨迹校正控制器，点击“OK”保存参数；点击编译程序，完成后点击使计算机和倒立摆建立连接；点击运行程序，缓慢提起倒立摆的摆杆到竖直向上的位置，在程序进入自动控制后松开，当小车运动到正负限位的位置时，用工具挡一下摆杆，使小车反向运动。

5、实验延伸拓展在学习本次根轨迹校正控制实验的同时，我查阅了更多的资料，并尝试运用matlab自带的工具箱来获得更加稳定的根轨迹校正控制器的值。

2、传递函数表达式Gc =From input to output...1.485 s^2 + 1.319e-15 s - 29.151: --------------------------------------s^4 + 0.1485 s^3 - 20.16 s^2 - 2.915 s2.974 s - 5.151e-182: ----------------------------------s^3 + 0.1485 s^2 - 20.16 s - 2.915Continuous-time transfer function.3、零极点增益表达式Gs =2.9745 s------------------------------(s-4.488) (s+4.492) (s+0.1446)Continuous-time zero/pole/gain model.（2）SISO TOOL进行根轨迹分析>> SISOTOOL(Gs)打开SISO Design TOOL得到系统开环传递函数的根轨迹图，并调节Control and Estimation Tools Manager|Control Architecture 窗口，使得控制器C在反馈通道图9 Control Architecture 窗口打开Edit|SISO Tool Preferences|Options|选择Zero/pole/gain，没有添加控制器的开环传递函数根轨迹如图所示，图10 开环传递函数根轨迹然后在Matlab Command Window中再输入：>>pole(Gs)ans =4.4884-4.4923-0.1446可以看到传递函数的极点分布为：两个左半平面的极点和一个右半平面的极点，以及一个在原点的零点，构成了非最小相位系统，显然，系统是不稳定，由于传递函数有一个极点位于右半平面.（3）通过添加超前滞后校正得到相对稳定的系统依次添加的零点-5与极点-100构成超前校正器，添加的零点-1与极点0构成滞后校正，最后拖动系统闭环主导极点，使其向左半平面移动，从而调节增益k，并同时观察阶跃响应曲线和Nyquist曲线，使得系统稳定，并同时达到设计指标。

所添加的零点-1与极点0构成滞后校正，滞后校正网络实质上是一个低通滤波器，对低频信号有较高的增益，从而减小了系统的稳态误差，同时由于滞后校正在高频段的衰减作用，使增益剪切频率移到较低的频率上，保证了系统的稳定性。

从而有助于改善系统的稳态性能，并且能够保持理想的瞬态性能。

所添加的零点-5与极点-100构成超前校正器，能够产生如下影响：(1)渐近线向左移动，有利于改善系统的瞬态性能；(2)改变根轨迹的分布图，使超前校正装置的零极点分布合理，并有助于改善系统的瞬态特性。

图11 阶跃响应曲线和Nyquist曲线图12 根轨迹在原点处局部放大的根轨迹绘制阶跃响应曲线和Nyquist曲线图13阶跃响应曲线和Nyquist曲线可以看出摆杆角度最终小于0.04rad，稳定时间在3.0-3.5s之间。

按照操作步骤6的方法导出此时控制器的传递函数.（4）导出控制器的传递函数Cs =484.98 (s+1) (s+5)------------------s (s+100)Cs=tf(Cs)Cs =485 s^2 + 2910 s + 2425-----------------------s^2 + 100 s对此时的控制器传递函数进行离散化如下，c2d(Cs,0.005)ans =485 z^2 - 958.5 z + 473.6-------------------------z^2 - 1.607 z + 0.6065(5) Simulink仿真1、基于线性模型的Simulink仿真分别从信号源库(Sources)、数学运算库(Math Operations)、连续系统库(Continuous)、常用模块(Commonly Used Blocks)、输出方式库(Sinks)中将阶跃信号发生器(Step)、相加器（Sum）、状态空间模型(State-Space)、传递函数(Transfer Fcn)、分线器(Demux) 、示波器(Scope)选中，并将其拖至模型窗口。

按要求将各个模块如图连接好。