u (x , y）满足以下方程组

ux,
x
y

M
x,
y


ux,
y

N
x,
y
y
以下推证满足上方程组的 u (x , y）一定存在。
13
§ 2.3 Exact ODE and Integrating Factor
从 x0 到 x 对方程组的第一式进行积分
ux,
有
M 12 xy N 12xy
y
x
故此方程为恰当方程，由（2.3.3）式，得出通解为
x 3x2 6xy2 dx y 0 4 y3 dy C
0
0
取x0 0, y0 0
即 x3 3x2 y2 y4 C
16
例1:求方程 (3x2 6xy2 )dx (6x2 y 4 y3)dy 0
y
5
§ 2.3 Exact ODE and Integrating Factor
如果 M x, ydx Nx, ydy 0 为恰当方程 M x, ydx N x, ydy u dx u dy du
x y
方程可写成 dux, y 0
则方程的通解为 u(x,y)=C 其中 C 是任意常数。
0y
y 1
y0 y 2 dy
C
通解为 x2 x ln y C y
24
§ 2.3 Exact ODE and Integrating Factor
二、 积分因子/Integrating Factor/
x,
y
1 y2
ydx xdy 0
ydx xdy 0 y2
d
的函数 u(x,y)，即方程（2.3.1）左端微分式的原函数？
10
§ 2.3 Exact ODE and Integrating Factor
定理 假设函数 M x, y和Nx, y 在某区域内连续可微，
则方程（2.3.1）是恰当方程的充分必要条件是:
M N y x
此时，方程（2.3.1）的通解为:
这里C是任意常数。
23
例3
§ 2.3 Exact ODE and Integrating Factor
2xy 1 dx y
yx y2
dy

0
解 M 1 N
y
y 2 x
故为恰当（全微分）方程。
根据（2.3.4）式，（选取 x0 0, y0 1)
x 2xy 1 dx
则方程（2.3.1）称为恰当方程（或全微分方程）。
称 u(x,y)为 M x, ydx Nx, ydy 的一个原函数。
4
恰当方程举例
xdx ydy 0
xdy ydx 0
ydx x2
xdy y2

0
U (x, y) x2 y2 2
U (x, y) xy U (x, y) arctan x
42
就是求原函数的问题。
9
§ 2.3 Exact ODE and Integrating Factor
M x, ydx Nx, ydy 0
( 2.3.1)
dux, y M x, ydx Nx, ydy (2.3.2)
问题 如何判断方程（2.3.1）是否为恰当方程？ 如果方程（2.3.1）是恰当方程，如何求满足条件（2.3.2）
即证（2.3.1）为恰当方程时，有 M N 成立。 y x
若（2.3.1）是恰当方程，则存在某一二元函数 u(x,y)，使
dux, y M x, ydx Nx, ydy
u M x, y, u N x, y
x
y
2u M 2u N
,

xy y yx x
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一般地说, 在判断方程为恰当方程后，按照上面步 骤求解是比较麻烦的。在实际求解中，往往不采用这种直接 积分方法，而是采用所谓“分项组合”方法。即先把那些本 身已构成全微分的项分出来，再把剩下的项凑成全微分。但 利用这种方法需要熟记一些常用的二元函数的全微分公式。
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要熟记的凑微分
ydx xdy d(xy);
17
为确定 ( y),
将 U (x, y) x3 3x2 y2 ( y) 代入到等式
U 6x2 y 4 y3 y
中得到 d( y) 4 y3
dy
积分
(y) y4
代入
U (x, y) x3 3x2 y2 y4
所以通解为 x3 3x2 y2 y4 C 其中C为任意常数.
6
上式两边微分，
7
§ 2.3 Exact ODE and Integrating Factor
如
dy x
xdx ydy 0
dx y
xdx ydy d 1 (x2 y2 ) u(x, y) 1 (x2 y2 )
2
2
方程的通解为 x2 y2 C
8
§ 2.3 Exact ODE and Integrating Factor
§ 2.3 恰当方程与积分因子 /Exact ODE and Integrating Factor/
1
§ 2.3 Exact ODE and Integrating Factor
内容提要/Contents Abstract/
概念 恰当方程 解法
举例
概念 非恰当方程 解法
举例
ydx xdy x2

d(
y ); x
ydx x2
xdy y2

d (arctan
x ); y
ydx xdy y2

d(
x ); y
ydx xdy d[ln( x )];
xy
y
ydx xdy x2 y2

1 2
d
ln
x y x y
;
20
解3 原方程可改写为:
求解非恰当方程的关键是求积分因子！
26
例如
§ 2.3 Exact ODE and Integrating Factor
（i）可分离变量方程：M1xM 2 ydx N1xN2 ydy 0
不一定是恰当方程，但是方程两端乘以

1
N1xM 2 y
得到
积分因子
本节要求/Requirements/
熟练掌握恰当方程的求解方法 会用积分因子方法求解非恰当方程
2
§ 2.3 Exact ODE and Integrating Factor
一 、恰当方程/Exact ODE/
dy f (x, y) dx
f x, ydx dy
M x, ydx Nx, ydy 0


y


y
y0
N
x0
,
y
dy
Nx, y Nx0, yy
即 N (x, y) N x, y N x0, yy
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§ 2.3 Exact ODE and Integrating Factor
ux, y
x M x, ydx
x0
y


ux0
,
y


x
x0
M
x,
y
dx
ux,
y


x
x0
M
x,
y
dx



y

ux,
x
y


M
x,
y
ux, y Nx, y
y
u y

y
x
x0
M x,
ydx
y
x N dx y x0 x
y Nx0, y
§ 2.3 Exact ODE and Integrating Factor
3x2dx 4 y3dy 6xy2dx 6x2 ydy 0 3x2dx 4 y3dy 3 y2dx2 x2dy2 0
dx3 dy4 d3x2 y2 0 d x3 y4 3x2 y2 0
例
x3 ydx x ydy 0
解 方程各项经过重新组合后，可以看出它是恰当方程，
x3dx ydy ydx xdy 0
d
x4 4


d
y2 2


d xy

0
d
x4 4

y2 2

xy

0
通解为 x4 y 2 xy C 求解恰当方程的关键
x M x, ydx x0
y y0
N x0
,
ydy

C
或
x x0
M
x,
y0
dx

y Nx, ydy C
y0
其中C是任意常数。
（2.3.3） (2E and Integrating Factor
证明 必要条件 M x, ydx Nx, ydy 0
x, yM x, ydx x, yNx, ydy 0 (2.3.6)
为恰当方程，则称 x, y是方程（2.3.5）的一个积分因子。
此时， dvx, y Mdx Ndy
则 vx, y c 是方程（2.3.5）的通解。
思考： Mdx Ndy 0 与 Mdx Ndy 0 同解？
故
x3 y4 3x2 y2 C
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