机械制图直线与点投影
直线的投影
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
直线的投影
a b c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
Z
b
b
b
a
B
a
a
a
A
b
X
O
YW
a
b
a
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ 2． a b=AB 3． 反映、角的真实大小
平面的投影仍然是以点的投影为基础，只 要作出平面上的点的投影，即可求得平面 的投影。
在求作平面上点的投影时要格外细心，在 学习中逐渐养成认真、严谨的良好作风。
一、平面的表示法
1、用几何元素表示
投影图中可用五种形式表示平面 不在同一直线上的三点 一直线和线外一点。 相交两直线 平行两直线 平面图形
X
O
a
b
c
d
空间两直线平行，则其各同名投影必 相互平行，反之亦然。
例：判断图中两条直线是否平行。
① b
d
a
c
ac
②
b c
d
a
d b c
b
da
b d
a c
c a
d b
AB与CD平行。
对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。
AB与CD不平行。
对于特殊位置直线， 只有两组同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。
2、用迹线表示
迹线：平面与投影面的交线 平面与V面、H面、W面的交线分别称为正面迹线PV、 水平迹线PH、侧面迹线PW。
由于用迹线表示平面不够形象，故较少采用
二、各种位置平面的投影 根据平面在三投影面体系中对投影面的相对位置不同，将平面分为：
1、投影面平行面 2、投影面垂直面 3、投影面倾斜面
直线与点
直线上的点具有两个特性： 1．从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。 2．定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c
: c b= ac : cb = ac : c b
例1：判断点C是否在线段AB上。
①
c
a
●
b
②
a
c●
在
不在
b
c
a
[例题] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
c
bc ca
c
两直线的相对位置
一、两直线平行 二、两直线相交 三、两直线交叉 四、判断两交叉直线重影点的可见性
两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉（异面）。
⒈ 两直线平行
V
d
c a
A C
a
b B
D
c
b
d
H
d b c
a
c′ b′
a′ d′
a
d
b c
相交吗？ 不相交！ 为什么？
交点不符 合空间一个点 的投影特性。
判断方法？ ⒈ 应用定比定理 ⒉ 利用侧面投影
⒊ 两直线交叉
b′
c′
a′
X a
d′
O d
V
c′ a′
AC a
c
c
b
两直不线相相交交！吗？
交为点什么不？符合一个
点的投影规律！
b′ d′
B D
d bH
V
b′
b YH
（3）侧平线—只平行于侧面投影面的直线
a
Z
a
a
A
a
b
b
b
X
O
YW
a
a
b
B
b b
YH
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH 2． ab =AB
3．反映 、 角的真实大小
投影面平行线 平行某一个投影面的直线
b'
实长
a'
b"
//OZ轴
a"
是正什平么线线？ 平为行什V么面？
P
//OX轴
⒉ 两直线相交
交点是两直
V c
b
k
线的共有点
a C A
d K
B D
X
O
a
d
c
k
b
H
c k a
b d
a
d
ck
b
若空间两直线相交，则其同名投影必
相交，且交点的投影必符合空间一点的投
影特性。
例1：过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
a
d
k c●
b
先作正面投影
例2：判断直线AB、CD的相对位置。
●
③ a
c ● b
a c●
b
a
c
●
b
a
不在
●
c b
另一判断法?
应用定比定理
b
例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
解法二： （应用定比定理）
a
a
k
k ●
●
a
●
k ●
●
b
b
b
b
b
k●
k●
a
a
已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分点C的投影c、c 。 c
c
可帮助判断两直线的空间位置。
判断交叉两直线重影点投影的可见性
1 (3)4 2
13 2
4
3 4
1(2)
判断两直线的相对位置
z
c
b
d
a
o
YW
YH
判断两直线的相对位置
1
1
1d c 1
判断两直线重影点的可见性
1 3(4) 2
4 3 1(2)
第二节 平面的投影
物体是由各种不同形状的表面围成的，点、 线、面是构成物体的基本几何元素。
a
b
投影特性
V
W
H
在所平行的投影面内的投影反映实长及与另外 二投影面倾角
另外二投影分别平行于相应的投影轴
V
H V
H
V
W
W
H
V 正垂线
H 铅垂线
W
直线某一投影面 投影面垂直线
W 侧垂线
（1）铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
Z
a
a
a
A b
B a(b)
a
b
X
O
b
b YW
a(b)
YH
投影特性：1． a b 积聚 成一点
二、一般位置直线
Z
b
a
ห้องสมุดไป่ตู้
b
B b
a
b
a
X
O
Y
b
A
a
a a
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长 2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3．不反映 、 、 实角
b Y
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹 角并不反映空间线段与三个投影面夹角的 大小。三个投影的长度均比空间线段短， 即都不反映空间线段的实长。
c′ a′
3(′4 ′)1● ′
● 2 ●′Ⅳ
●
d′
Ⅰ
●
B
A
C
●Ⅲ●Ⅱ D
a
●4
d
c
●●
3 1(2)
bH
1′
c
3(′4 ′) ′●
● ●
2′
a′
X
a
●4
● ●
c 3 1(2)
b′ d′
O d b
投影特性：
★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一 个
点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其
a
b
a
Z b
ab
ab
A
B
X
O
YW
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ 3． ab = ab =AB
b YH
投影面垂直线
a'
实长
b'
垂直某一个投影面的直线
a"
实长
是铅什垂么线线？
为垂什直么H面？ b"
积聚性
a(b)
P
V W
投影特性
H
在所垂直的投影面内的投影积聚成一点 另外二投影分别垂直于相应的投影轴且反映实长
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
（2）正垂线— 垂直于正面投影面的直线
ab
A
a
ab
z
a
b
B
b
X
O
YW
a a
b b YH
投影特性： 1． ab 积聚 成一点 2． ab OX ; ab OZ 3． ab = ab =AB
（3）侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线