25、概率初步教材分析西城区教育研修学院初三数学研修活动材料《概率初步》教材分析161 中学王苒苒2011.12.29 一、本章地位本章属于“统计与概率”领域，对于该领域的内容，本套教科书共安排了三章，这三章采用统计和概率分开编排的方式，前两章是统计，最后一章是概率. 一方面，概率与统计相对独立，另一方面概率又以统计为依托. 本章概率知识的学习要以前俩章的统计部分的知识为基础. 本章的主要内容是随机事件的的定义，概率的定义，计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和画树状图法），利用频率估计概率，中心内容是体会随机观念和概率思想. 二、课程学习目标1、课标要求（1）理解什么是必然发生事件、不可能发生事件和随机事件.（2）在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概率，理解概率第2 页共38 页取值范围的意义.（3）能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.（4）能够通过试验，获得事件发生的频率，知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系.（5）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题.2、2011 年中考说明对概率的要求第3 页共38 页第 4 页 共 38 页【考试内容】事件、事件的概率，列举法（包括列表、画树状图） 计算简单事件的概率 .实验与事件发生的频率， 大量重复实验时事件发生概 率的估计值 .运用概率知识解决实际问题【考试要求】① 在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括 列表、画树状图）计算简单事件发生的概率 .② 通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实 验时频率可作为事件发生概率的估计值 .③ 能运用概率知识解决一些实际问题 .三、知识结构框图四、课时安排（共15 课时）25.1随机事件与概率约4 课时25.2用列举法求概率约4 课时25.3利用频率估计概率约3 课时25.4课题学习约2 课时数学活动小结约2 课时五、学法教学建议1、注重概念的教学、随机观念的渗透概率对学生来说是一个与以前所学数学内容不太一样的东西，一些表述、思想、方法学生都不适应，如果一开始形成了错误的概念或“直觉” ，那就很不利于后面的学习. 因此在概念教学时不能急于求成，要循序渐进，稳扎稳打.课本通过4 个步骤来给出“统计概率”的概念：（1）很多事件的发生具有“偶然性” （给出“随机事件”概念.P125【问题1、2】）→（2）不同随机事件发生的可能性的大小有可能不相同（P127【问题3】）→第5 页共38 页（3）相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，是由事件固有的属性决定的。
这也是区分概率和频率的本质区别之一。
（P128【试验】，古典概率定义）（4）然后再引入概率的统计定义。
（P140【用频率估计概率】）随机事件在现实世界中是普遍存在的，教师应努力培养学生的随机观念，并让学生知道，研究随机事件掌握其规律进而利用其规律是有实际意义的. 概率论就是研究和揭示随机现象统计规律的教学工具，教师应举出大量事件，让学生判断，这些事件是确定性事件还是随机事件.2、帮助学生区别统计概率和古典概率的定义，揭示概率与频率的区别与联系初学统计与概率的学生往往无法理解概率与频率的内在区别与联系，有时会把两者相混淆，教师应向学生指明，统计与概率这两个学科是互为依存，相互作用的. 概率这一概念是建立在频率这一统计量的稳定性基础之上的，而统计也离不开概率的理论支持相同条件下，一个事件发生的概率是一个常数，是第6 页共38 页由事件固有的属性决定的，但是如果用概率实验的方法，频率会随着样本空间的变化而变化，但随着样本的增加，频率会越来越集中于一个常数，这个数就是概率（统计概率的定义）. 所以用频率估计出来的概率有时是不精确的，会有误差. 让学生们理解，在遇到任何计算概率问题时，如果能够用理论计算首先就应该采用理论计算的方式，这样的计算结果是概率的精确值（古典概率的定义），用频率估计概率通常会出现误差，得到的可能是概率的近似值.3、通过大量的实例教学教学中通过大量的（包括重复的）实例教学，让学生在结合实际问题的研究中来逐步体会、理解概念第7 页共38 页的实质、掌握计算的方法. 问题的形式、表述千差万别，通过多分析处理各种各样的实际问题，有助于提高学生的转化能力.让学生亲自动手实践、能够引发学生的思考，加深印象，提高学生思考的积极性.建议充分利用好教参后面附带的课件。
4、帮助学生总结常见解题方法初中阶段新课标对概率的要求比较低，要求学生掌握的问题以及方法都比较单一. 很多貌似不同的实际问题实质都是一样的，几乎都能转化成几种固定的模式，就像是设计模拟试验一样，比如，很多问题都能转化成“摸球”问题。
要考虑的关键点有三条：① 几步完成（是从一个口袋摸球，还是从两个或三个口袋中摸球）；②摸出球后是否放回去；③每次摸几个球. （实际上，“在一个口袋中摸球，每次摸2 个”相当于“每次摸1 个，摸2次”）.学生掌握了问题的实质之后，就不会被表面的叙述干扰.5、谈谈学生在学习概率时常见的错误①似是而非，不知道树状图的标准画法第8 页共38 页第 9 页 共 38 页例1 如图 1 所示, 从甲地到乙地有两条路可走 , 从乙 地到丙地有三条路可走 , 假定甲、乙、丙三地间的路 况完全相同 , 小斌从甲地出发走 a 路线到乙地 , 再走 e 路线到丙地的概率是多少 ?错误分析 : 这两种错误都是树状图的形状画错,常常 出现这种错误是因为同学们平时学习粗枝大叶 ,不认 真观察树状图的真形而导致的错误。
正确画法 1: 由题意得树状图如下 :第 10 页 共 38所以 : 从甲地出发走 a 路线到乙地 , 再走 e 路线到丙地的概率为②没有搞清楚树状图应用的条件 例2已知甲袋中有 1个红球、1个白球、 乙袋中有 2 个红 球、 1个白球 （两种球只是颜色不同 ）。
从甲、乙两袋中 同时摸出红球的概率是多少 ?错解: 画树状图如下图 2所示 ,总的情况数2有 4 种, 两袋中同3时 摸出红球的情况数有 1种, 因此两袋中同时摸出红球的概率为四分之错误 分析 : 从甲袋中摸出红球和白球的可能性不同 , 因此 上述解答是错误的。
正确解法 : 由于乙袋中有 2个红球可以将它们编号后 再求解。
图画树状图, 如图3所示。
总的情况数有6 种, 两袋中同时摸出红球的情况数有2种。
因此两袋中同时摸出红球的概率为13。
3 ③同一事件，同一属性，错误的使用两次例3 已知红色和蓝色在一起可配成紫色, 现有三种颜色红、白、蓝, 从中任意取出两种颜色来配紫色问: 能配出紫色的概率是多大?错解: 用列表法如下:白红蓝白（白, 白）（红, 白)(蓝, 白）红（白, 红）（红, 红)(蓝, 红）蓝（白, 蓝）（红, 蓝)(蓝, 蓝）由表格知: 所有可能数为9种, 能配出紫色的有2因此能配出紫色的概率为九分之二。
错误分析: 同学们在这一过程中没有考虑到: 两次取出相同的颜色是同一事件不能重复计算为两个事件, 导致所有可能数搞错而导致结论错误。
正确解法: 用列表法如下:白红蓝白空（红, 白）（蓝, 白）西城区教育研修学院初三数学研修活动材料红（白, 红）空（蓝, 红）蓝（白, 蓝）（红, 蓝）空由表格知: 所有可能数为6种, 能配出紫色的有2种, 因此能配出紫色的概率为三分之一。
④对事件的含义模糊不清例4 有2名男生和2名女生, 王老师要随机地、两两一对地给他们排座位, 一男一女在一起的概率是多少? 错解: 把2 名男生编号为男1、男2; 两名女生编号为女1、女2, 则两人在一排共有四种情况: 男1 男2, 女1 女2, 男1 女2, 男2 女1 所以, P （一男一女在一起） = 21.错误原因分析: 没有弄清每个事件的含义: 两两一对地排位, 两两排好才算一个完整事件, 只排好2个人并不是一个完整事件。
正确的解法: 用列举法排出两两一对所有可能: 男1男2, 女1女2; 男1女1, 男2女2; 男1女2, 男2 女1所以, P （一男一女在一起） = 32.3⑤不重视概率的学习，认为中考中没有什么难题，不认真练习例5：一个骰子，六个面上的数字分别为1，2，3，3、4，5 投掷一次，向上的面出现数字3 的概率是件，事先能够肯定一定不会发生的事件称为不可能事件，必然是件和不可能事件都是确定事件；可能发生也可能不发生的事件称为随机事件（也称为不确定事件）．由于A、B、C 都为随机事件；只有D 是必然事件．（二）求简单事件发生的概率：例2．某商场在今年“六·一”儿童节举行了购物摸奖活动．摸奖箱里有四个标号分别为1，2，3，4 的质地、大小都相同的小球，任意摸出一个小球，记下小球的标号后，放回箱里并摇匀，再摸出一个小球，又记下小球的标号．商场规定：两次摸出的小球的标号之和为“8或”“6”时才算中奖．请结合“树状图法”或“列表法”，求出顾客小彦参加此次摸奖活动时中奖的概率．解析：本题考查了计算事件的概率的能力，可以看到共有16 种可能，和为“6”或“8”有4 种可能性，所以，顾客小彦参加此次摸奖活动时中奖的概率14614．（列表方法求解略）温馨提示：正确的理解概率的意义，利用列表或树形图求概率，找出可能出现的结果次数n 及事件发生的结果次数k，再利用P k来求概率．n（三）用试验的方法估算复杂事件的概率：例3 ．赏郎中学初三某班的同学积极参加体育锻炼，该班班长在篮球场对自己进行篮球定点投球测试，下表是他的测试成绩及相关数据：（1）请将数据表补充完整。
（2）画出班长进球次数的频率分布折线图。
（3）就数据5、10、15、20、25、30 而言，这组数据的中位数是多少？（4）如果这个测试继续进行下去，每回的投球次数不断增加，根据上表数据，测试的频率将稳定在他投球1 次时进球的概率附近，请你估计这个概率是多少？并说明理由。
（结果用分数表示）解析：本题是与数据的整理与描述相结合的，首先对数据进行分析，然后通过实验频率来估计概率。
第（1）问由频率计算频数，频数＝总数×频率＝15×0.4＝6（2）通过描点、连线画出折线图，又折线图我们可以看到频率稳定在0.6 左右（3）要注意中位数的定义，是按顺序将数据排列起来后处在中间位置的数据，因为有6 个数据，所以应是第3、4 个数的平均数为17.5（4）因为当实验的次数足够大时，事件发生的频率 稳定在该事件发生的概率附近，反之可以用频率来估 温馨提示：本题要同学们区别开概率与频率，概率是 伴随着随机事件客观存在的， 只要有随机事件就一定 有存在概率，频率是通过实验得到的，随着试验次的 变化而变化，但是当试验的次数重复次数足够大后， 频率在概率附近摆动，为了求一个随机事件的概率， 我们就可以通过多次试验， 用所得的频率来估计事件 的概率．（四）公平游戏的判断及规则的修改设计问题 例 4．有一个可以自由转动的转盘，被分成了 4 个相 同的扇形，分别标有数 1、 2、3、4（如图所示），另 有一个不透明的口袋装有分别标有数 0、1、3 的三个 小球（除数不同外，其余都相同） 。