AM= AF，AN= AE，从而分别表示出 S△ AMN 与 S△ AEF，求出它们的比值即可得出答案。
2．如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，且 OA=1， OB=3，顶点为 D，对称轴交 x 轴于点 Q．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （2）点 P 是抛物线的对称轴上一点，以点 P 为圆心的圆经过 A、B 两点，且与直线 CD 相 切，求点 P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使得△ DCM∽ △ BQC？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）解： ∴
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．定义：如图 1，点 M，N 把线段 AB 分割成 AM，MN 和 BN，若以 AM，MN，BN 为边的
三角形是一个直角三角形，则称点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点.
（1）已知点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，若 AM=3，MN=4 求 BN 的长； （2）已知点 C 是线段 AB 上的一定点，其位置如图 2 所示，请在 BC 上画一点 D，使 C，D 是线段 AB 的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）； （3）如图 3，正方形 ABCD 中，M，N 分别在 BC，DC 上，且 BM≠DN，∠ MAN=45°，AM， AN 分别交 BD 于 E，F. 求证：①E、F 是线段 BD 的勾股分割点； ②△ AMN 的面积是△ AEF 面积的两倍． 【答案】（1）解：（1）①当 MN 为最大线段时， ∵ 点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，
（1）求证：BC＝CD； （2）分别延长 AB，DC 交于点 P，若 PB＝OB，CD＝
，求⊙O 的半径．
【答案】（1）证明：∵ DC2＝CE·CA，
∴
，
∵ ∠ DCE=∠ ACD，
∴ △ CDE~△ CAD，
∴ ∠ CDE=∠ CAD，
又∵ ∠ CBD=∠ CAD，
∴ ∠ CDE=∠ CBD，
∴ CD=CB.
∴ BM=
=
=，
②当 BN 为最大线段时，
∵ 点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点，
∴ BN= 综上，BN=
= 或 5；
=5，
（2）解：作法：①在 AB 上截取 CE=CA； ②作 AE 的垂直平分线，并截取 CF=CA； ③连接 BF，并作 BF 的垂直平分线，交 AB 于 D； 点 D 即为所求；如图 2 所示．
∴ CF=CD=12，∠ BCF=∠ BCD，∠ CBF=∠ CBD， ∵ ∠ ABD=2∠ BCD，∠ BCD+∠ CBD=90°， ∴ ∠ ABD+∠ DBC+∠ CBF=180°， ∴ A、B、F 共线， ∴ ∠ A+∠ ACF=90° ∴ 2∠ ACB+∠ CAB≠90°， ∴ 只有 2∠ BAC+∠ ACB=90°，
代入 解得
，得
∴ 抛物线对应二次函数的表达式为：
（2）解：如图，
设直线 CD 切⊙P 于点 E．连结 PE、PA，作
由
∴
∴
∴
为等腰直角三角形．
∴ ∴
∴
∴
为等腰三角形．
点． 得对称轴为直线 x=1，
设
∴
在
中，
∴
∴
整理，得
解得，
∴ 点 P 的坐标为
或
（3）解：存在点 M，使得
∽
．
如图，连结
∵
∴
为等腰直角三角形，
（3）解：①如图 3 中，将△ ADF 绕点 A 顺时针性质 90°得到△ ABH，连接 HE．
∵ ∠ DAF+∠ BAE=90°﹣∠ EAF=45°，∠ DAF=∠ BAH， ∴ ∠ EAH=∠ EAF=45°， ∵ EA=EA，AH=AF， ∴ △ EAH≌ △ EAF， ∴ EF=HE， ∵ ∠ ABH=∠ ADF=45°=∠ ABD， ∴ ∠ HBE=90°， 在 Rt△ BHE 中，HE2=BH2+BE2 ， ∵ BH=DF，EF=HE， ∵ EF2=BE2+DF2 ， ∴ E、F 是线段 BD 的勾股分割点． ②证明：如图 4 中，连接 FM，EN．
（1）在 x 轴上找一点 D ， 连接 DB ， 使得△ ADB 与△ ABC 相似（不包括全等），并求点 D 的坐标； （2）在（1）的条件下，如 P ， Q 分别是 AB 和 AD 上的动点，连接 PQ ， 设 AP＝DQ＝ m ， 问是否存在这样的 m ， 使得△ APQ 与△ ADB 相似？如存在，请求出 m 的值；如不存 在，请说明理由． 【答案】 （1）解：如图 1，过点 B 作 BD⊥AB ， 交 x 轴于点 D ，
换得出结论；②证明：如图 4 中，连接 FM，EN．根据正方形的性质及对顶角相等判断出
△ AFE∽ △ DFN，根据相似三角形对应角相等，对应边成比例得出∠ AEF=∠ DNF， AF∶ DF
=EF∶ FN ，根据比例的性质进而得出 AF∶ EF =DF∶ FN,再判断出△ AFD∽ △ EFN，根据相似三
∵ ∠ A＝∠ A ， ∠ ACB＝∠ ABD＝90°， ∴ △ ABC∽ △ ADB ， ∴ ∠ ABC＝∠ ADB ， 且∠ ACB＝∠ BCD＝90°， ∴ △ ABC∽ △ BDC ，
∴ ∵ A（﹣3，0），C（1，0）， ∴ AC＝4，
∵ BC＝ AC ． ∴ BC＝3，
∴ AB＝
＝
＝5，
CE=CA；②作 AE 的垂直平分线，并截取 CF=CA；这样的作图可以保证直角的出现，及 AC
是一条直角边，③连接 BF，并作 BF 的垂直平分线，交 AB 于 D；这样的作图意图利用垂
直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即 BD=DF，从而实现将三条线段转化到同一
直角三角形的目的；
（3）①如图 3 中，将△ ADF 绕点 A 顺时针性质 90°得到△ ABH，连接 HE．根据正方形的
形，在直角三角形 PED 和 APQ 中，用勾股定理可将 PE、PA 用含 m 的代数式表示出来，根
据 PA=PE 可列方程求解；
（3）由△ DCM∽ △ BQC 所得比例式分两种情况：
或
，根据所得比例式即可
求解。
3．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，AC 和 BD 相交于点 E，且 DC2＝ CE·CA．
∴
由（2）可知，
∴
∴
分两种情况．
当
时，
∴
，解得
．
∴
∴
当
时，
∴
，解得
∴
∴
综上，点 M 的坐标为
或
【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由（1）中的解析式易求得抛物线的对称轴为直线 x=1，顶点 D（1，4），点 C（0，
3），由题意可设点 P（1，m），计算易得△ DCF 为等腰直角三角形，△ DEP 为等腰三角
，可求 CD
的长，即可求点 D 坐标；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．
5．如果三角形的两个内角 α 与 β 满足 2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角 形”.
（1）若△ ABC 是“准互余三角形”，∠ C＞90°，∠ A=60°，则∠ B=________°； （2）如图①，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=4，BC=5.若 AD 是∠ BAC 的平分线，不难证 明△ ABD 是“准互余三角形”.试问在边 BC 上是否存在点 E（异于点 D），使得△ ABE 也是“准 互余三角形”？若存在，请求出 BE 的长；若不存在，请说明理由. （3）如图②，在四边形 ABCD 中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ ABD=2∠ BCD，且△ ABC 是
∵
，
∴
，
∴ CD＝ ，
∴ AD＝AC+CD＝标为：（ ，0）；
（2）解：如图 2，当∠ APC＝∠ ABD＝90°时，
∵ ∠ APC＝∠ ABD＝90°，∠ BAD＝∠ PAQ ， ∴ △ APQ∽ △ ABD ，
∴
，
∴
∴ m＝ ， 如图 3，当∠ AQP＝∠ ABD＝90°时，
OC∥ AD，根据平行线所截线段成比例可得
=2，从而求得 PC、PD 长，再根据相似
三角形的判定可得△ PCB~△ PAD，由相似三角形的性质可得
，从而求得半径.
4．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 是直角三角形，∠ ACB＝90°，点 A ， C 的 坐标分别为 A（﹣3，0），C（1，0），BC＝ AC ．
“准互余三角形”，求对角线 AC 的长. 【答案】 （1）15 （2）解：如图①中，
在 Rt△ ABC 中，∵ ∠ B+∠ BAC=90°，∠ BAC=2∠ BAD， ∴ ∠ B+2∠ BAD=90°， ∴ △ ABD 是“准互余三角形”， ∵ △ ABE 也是“准互余三角形”， ∴ 只有 2∠ B+∠ BAE=90°， ∵ ∠ B+∠ BAE+∠ EAC=90°， ∴ ∠ CAE=∠ B，∵ ∠ C=∠ C=90°， ∴ △ CAE∽ △ CBA，可得 CA2=CE•CB， ∴ CE= ， ∴ BE=5﹣ = . （3）解：如图②中，将△ BCD 沿 BC 翻折得到△ BCF.
性质及旋转的性质得出∠ EAH=∠ EAF=45°，AH=AF，利用 SAS 判断出△ EAH≌ △ EAF，根据全
等三角形对应边相等得出 EF=HE，根据正方形的每条对角线平分一组对角，及旋转的性质
得出∠ ABH=∠ ADF=45°=∠ ABD，故∠ HBE=90°，在 Rt△ BHE 中，HE2=BH2+BE2 ， 根据等量代