函数项级数一致收敛性判别法及其应用栾娈 20111101894数学科学学院 数学与应用数学11级汉班指导老师：吴嘎日迪摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数1.函数列与一致收敛性(1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{S n （x ）}(或函数项级数∑∞=1)(n n x u 的部分和序列)。

若对任给的0>ε，存在只依赖于ε的正整数N （ε），使n > N （ε）时，不等式ε<-)()(x S x S n对X 上一切x 都成立，则称{S n （x ）}（∑∞=1)(n n x u ）在X 上一致收敛于S （x ）.一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达：设 =-S S n Xx ∈s u p )()(x S x S n -，如果 0lim =-∞→S S n n 就称S n （x ）在X 上一致收敛于S(x ).例1 讨论 =+=X xn nx x S n 在221)([0，1]的一致收敛性由于S （x ）=0, 故211)(m a x 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛==-≤≤n S x S S S n n x o n ，不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f n}一致收敛于的f 几何意义：对任给的正数ε，存N，对一切序号大于N 的曲线y=f n(x )都落在以曲线y= f (x )+ε与y=f (x )-ε为上，下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件）柯西准则函数项级数)(1x u k k ∑∞=在I 上一致收敛的充要条件是;εε<+++==∈∀∈∀>∀∈=∃>∀++++++=++∑)(...)()()(-)()(,,,,0211)(x u x u x u x S x S x uI x N p N n N N N p n n n n p n pn n k kE 都有及证明：必要性： 已知)(1x u k k ∑∞=在区间I 一致收敛，设其和函数式S （x ）,即2)()(ε<-x S x S n也有2)()(ε<-+x S x S p n于是εεε=+<-+-≤-+-=-=+++++=∑22)()()()()()()()()()()(1x S x S x S x S x S x S x S x S x S x S x un p n n p n n p n pn n k k充分性：已知I x N p N n N N N ∈∀∈∀>∀∈=∃>∀++及,,)(,0εε有ε<=+=+=∑)(-)()(1x S x S x un p n pn n k k从而)(1x u k k ∑∞=在区间I 收敛，没其和函数是S （x ）,因为p 是任意正整数，所以当∞→p 时，上述不等式有ε<-)()(x S x S n 即函数项级数)(1x u k k ∑∞=在区间I 一致收敛.余项准则函数列{f }n 在D 上一致收敛于f 的充要条件是0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n3.函数项级数一致收敛判别法 （1）充分条件定理1（魏尔斯特拉斯判别法）若对充分大的n ,恒有实数n a 使得n n a x u ≤)(对X 上任意的x 都成立，并且数项级数)(x ua nn ∑∑收敛，则在X 上一致收敛.证明 由∑n a 的收敛性，对任给的ε>0,可得N （ε），使n >N (ε)时 ε<++++++p n n n a a a ...21（p=1,2,…）, 对X 上的一切的x 我们有≤++≤++++++)(...)()(...)(11x u x u x u x u p n n p n n ε<++++++p n n n a a a ...21， 由一致收敛的柯西充要条件即得定理的结论.例2 若∑n a 绝对收敛，则∑n a sin nx 和∑n a cos nx 在),(+∞-∞内都是绝对收敛和一致收敛的级数. 事实上，n n a nx a ≤sin ， n n a nx a ≤cos ， 由魏尔斯特拉斯判别法即可得证. 定理2(阿贝尔判别法)若在X 上)(x b n ∑一致收敛，又对X 中每一固定的x ,数列)(x a n 单调.而对任意的n 和X 中每个x ，有L x a n ≤)(（不依赖于x 和n 的定数），那么)()(x b x a n n ∑在X上一致收敛.这个定理与数项级数的阿贝尔定理相似，其证明也大体相同，只要利用阿贝尔引理即可。

事实上，由)(x b n ∑的一致收敛性，对任意给定的ε>0,可得N （ε），使n >N (ε)时恒有ε<++++)(...)(1x b x b p n n （p=1,2…）， 固定x ,由上式及)(x a n 的单调性，利用阿贝尔引理得到,...)2,1);((3)(2)(()()(...)()(111=>≤+<++++++++p N n L x a x a x b x a x b x a p n n p n p n n n εεε再从一致收敛的柯西充要条件即可. 例3设级数∑n a 收敛，证明∑∑=+→nxnx ana 0lim .证明：因为11≤xn，且,..)2,1),,0[()1(11=+∞∈+>n x n nxx，故}1{xn单调且一致有界，又级数∑n a 收敛，即∑n a 在),0[+∞上一致收敛，所以由阿贝尔判别法知，∑xnna 在),0[+∞上一致收敛，又),0[...)2,1(+∞=在n na xn 上连续，故∑xn na 在),0[+∞上也连续，即 ∑∑∑==++→→nxn x xnx ana na 0lim lim.定理3（狄利克雷判别法）设∑∞=1)(n n x b 的部分和)()(1x bx B ni in ∑==在X 上一致有界，又对X 内每一x ,数列)(x a n 单调，并且函数列{)(x a n }在X 上一致收敛于零，则)()(x b x a n n ∑在X 上一致收敛.证明 设L x bnn i i≤∑+=1)((不依赖于n 和x 的定数)，那么对X 上任意的x 和任意的正整数p 恒有Lx bx bx bi ipn i ii2)()()(11≤+≤∑∑∑∞=+=因此，利用阿贝尔引理))(2)((2)()(11x a x a L x b x ap n n pn n i i i++++=+≤∑，再由)(x a n 一致收敛于零即得.例3 讨论∑∞=-+-1221)1()1(n nn x x的一致收敛性设 nn nn x x xx a )1()(,)1()(22-=+=β易见对一切n 及),(+∞-∞∈x 都有1)(1≤∑=nk n x β，即一致有界，另外，对任意固定的),(+∞-∞∈x 都有111)1()1(2221221≤+=+⋅+=++xxx x xa a nn nn所以)(x a n 对任意的x 单调递减，并且有 011)1()(2222→<+≤+=nnxxx xx a nn )(∞→n故)(x a n 在),(+∞-∞上随∞→n 而一致收敛于零.依狄利克雷判别法知级数），在（∞+∞+-∑∞=--)1()1(1221n nn x x内一致收敛. （2）必要条件函数项级数)(x u n ∑在数级D 上一致收敛的必要条件是函数列)}({x u n 在D 上一致收敛于零.4.由极限的夹逼原理得到的一致收敛判别法定理4:已知∑∑∞=∞=11)(),(n n n nx v x u在I 上一致收敛，且∈∃N N ，当时有N n >∑∞=≤≤1)()()()(n n n n n x w x u x w x v 则在I上一致收敛.证明：不妨设1=n 开始，便有)()()(x u x w x v n n n ≤≤，由∑∑∞=∞=11)(),(n n n n x v x u 在I 上一致收敛，根据一致收敛的柯西准则：∈∃>∀1,0N εN ，当∈∀>p N n n ,N ，有 εε<+++<-+++)(...)()(21x u x u x u p n n n 即 εε<+++<-+++)(...)()(21x v x v x v p n n n 而 )()()(x u x w x v n n n ≤≤ (n =1,2,…)就必有 )(...)()(21x v x v x v p n n n ++++++<-ε )(...)()(21x w x w x w p n n n ++++++≤ε<+++≤+++)(...)()(21x u x u x u p n n n 此即I x w n n 在),(1∑∞=上满足柯西一致收敛条件.推论：已知数项级数∑∑∞=∞=11,n nn nba 都收敛，若∈∃N N ，当时有N n >Ix b x w a n n n ∈≤≤,)(，则函数项级数I x w n n 在),(1∑∞=一致收敛，显然当,)(w x w n =即)(1x w n n ∑∞=为常数项级数，则可判断)(1x w n n ∑∞=收敛.定理5：设函数数列∈∀∈n b a x x u n ],,[)},({N. )(],[)(1a ub a x u n nn ∑∞=单调，且在及)(1b un n∑∞=都绝对收敛，则级数)(1x u n n ∑∞=在],[b a 一致收敛.证明时只要注意有()())(),(max )()(),(min b u a u x u b u a u n n n n n ≤≤并用定理四的推论即得.参考文献;1. 欧阳光中，朱学炎，金福临等.数学分析第三版下册[M]，北京:高等教育出版社，1978,75—89.2. 华东师范大学数学系.数学分析[M]，北京：高等教育出版社，1981.3. 张天德，韩振来.数学分析同步辅导[M],天津:天津科学技术出版社，2010,26—29.。