抽屉原理知识框架一、 知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．二、 抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、 抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11xn -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．重难点抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。
本讲的主要教学目标是： （1） 理解抽屉原理的基本概念、基本用法； （2） 掌握用抽屉原理解题的基本过程； （3） 能够构造抽屉进行解题；（4）利用最不利原则进行解题；（5）利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。
例题精讲（一）、直接利用公式进行解题（1）求结论【例 1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答【解析】6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的．利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，6511÷=，112+=（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子．【答案】对【巩固】年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日．”你知道张老师为什么这样说吗？【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答【解析】略．【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”，根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解．【答案】从题目可以看出，这道题显然与月份有关．我们知道，一年有12个月，把这12个月看成12个抽屉，这道题就相当于把13个苹果放入12个抽屉中．根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果．因此至少有两个同学在同一个月过生日．【例 2】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。
图8【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，第7届，希望杯，4年级，1试【解析】这是一道抽屉原理的题目，所以要先分清楚什么是抽屉，什么是苹果。
此题中的抽屉是人的头发：有20万个，中国的人数是苹果：13亿人，所以至少应有：13000000002000006500÷=（人）。
【答案】6500人【巩固】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答【解析】略．【答案】一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为7303661364÷=，所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天【例 3】五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【解析】略．【答案】数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有1个朋友．因此，这20名同学中，每个同学的朋友数只有19种可能：1，2，3，……，19．把这20名同学看作20个“苹果”，又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学，他们的朋友人数一样多【巩固】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【解析】略．【答案】假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0，1，2，……，1n-．其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见1n-个熟人，所以共有n个“抽屉”．下面分两种情况来讨论：⑴如果在这n 个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上2n -个熟人，这样熟人数目只有1n -种可能：0，1，2，……，2n -．这样，“苹果”数(n 个小朋友)超过“抽屉”数(1n -种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等． ⑵如果在这n 个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有1n -种可能：1，2，3，……，1n -．这时，“苹果”数(n 个小朋友)仍然超过“抽屉”数(1n -种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．总之，不管这n 个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等【例 4】 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？【考点】抽屉原理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略．【答案】因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”．一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）．这两个数的差必能被3整除【巩固】 四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由．【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答【解析】 略．【答案】想一想，不同的自然数被3除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？把这四个连续的自然数分别除以3，其余数不外乎是0，1，2，把这3个不同的余数当作3个“抽屉”，把这4个连续的自然数按照被3除的余数，分别放入对应的3个“抽屉”中，根据抽屉原理，至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以3的余数相同【例 5】 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．【考点】抽屉原理 【难度】4星 【题型】解答【解析】 略．【答案】19964499÷=，下面证明可以找到1个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数．取500个数：1，11，111，……，111……1（500个1）．用499去除这500个数，得到500个余数1a ，2a ，3a ，…，500a ．由于余数只能取0，1，2，…，498这499个值，所以根据抽屉原则，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0．又499和10是互质的，所以它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，这是1996的倍数【巩固】求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得()()()---a b c d e f是105的倍数．【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答【解析】略．【答案】105357=⨯⨯．对于任意的8个自然数，必可选出2个数，使它们的差是7的倍数；在剩下的6个数中，又可选出2个数，使它们的差是5的倍数；在剩下的4个数中，又可选出2个数，使它们的差是3的倍数（2）求抽屉【例 6】某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答【解析】经过第一个月，将16个学生分成两组，至少有8个学生分在同一组，下面只考虑这8个学生．经过第二个月，将这8个学生分成两组，至少有4个学生是分在同一组，下面只考虑这4个学生．经过第三个月，将这4个学生分成两组，至少有2个学生仍分在同一组，这说明只经过3个月是无法满足题目要求的．如果经过四个月，将每个月都一直保持同组的学生一分为二，放人两个组，那么第一个月保持同组的人数为16÷2=8人，第二个月保持同组的人数为8÷2=4人，第三个月保持同组人数为4÷2=2人，这说明照此分法，不会有2个人一直保持在同一组内，即满足题目要求，故最少要经过4个月．【答案】4个月【巩固】100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答【解析】从不利的方向考虑：当分苹果的学生多余某一个数时，有可能使每个学生分得的学生少于12个，求这个数. 100个按每个学生分苹果不多于11个（即少于12个）苹果，最少也要分10人（9人11个苹果，还有一人一个苹果），否则9×11＜100，所以只要分苹果的学生不多余9人就能使保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个（即多于11个）.【答案】9（3）求苹果【例 7】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分。
问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答【解析】由题目条件这次数学竞赛的得分可以从10-10=0分到10+3×10=40分，但注意到39、38、35这3个分数是不可能得到的，要保证至少有4人得分相同，至少需要3×（41-3）+1=115人.【答案】115人【巩固】一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分．至少____人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分相同．【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】填空【关键词】（第十届《小数报》数学竞赛决赛）【解析】根据评分标准可知，最高得分为50分，最低得分为0分，在0～50分之间，1分，2分，4分，7分，47分，49分不可能出现．共有51645⨯+=-=（种）不同得分．根据抽屉原理，至少有452191（人）参赛，才能保证至少有3人得分相同．【答案】3（二）、构造抽屉利用公式进行解题【例 8】在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样．你能说明这是为什么吗？【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答【解析】略．【答案】从三种颜色的球中挑选两个球，可能情况只有下面6种：红、红；黄、黄；蓝、蓝；红、黄；红、蓝；黄、蓝，我们把6种搭配方式当作6个“抽屉”，把7个小朋友当作7个“苹果”，根据抽屉原理，至少有两个“苹果”要放进一个“抽屉”中，也就是说，至少有两个人挑选的颜色完全一样【巩固】幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问：至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答【解析】从四种玩具中挑选不同的两件，所有的搭配有以下6组：牛、马；牛、羊；牛、狗；马、羊；马、狗；羊、狗．把每一组搭配看作一个“抽屉”，共6个抽屉．根据抽屉原理，至少要有7个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同．【答案】7个【例 9】从2、4、6、8、、50这25个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52？【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答【解析】构造抽屉：{2,50}，{4,48}，{6,46}，{8,44}，，{24,28}，{26}，共13种搭配，即13个抽屉，所以任意取出14个数，无论怎样取，有两个数必同在一个抽屉里，这两数和为52，所以应取出14个数．或者从小数入手考虑，2、4、6、、26，当再取28时，与其中的一个去陪，总能找到一个数使这两个数之和为52．【答案】14【巩固】请证明：在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两组数其和都等于104.【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答【解析】略．【答案】1，4，7，10，…，100共有34个数，将其分为(4，100)，(7，97)，…，(49，55)，(1)，(52)，共有18个抽屉．从这18个抽屉里面任意抽取20个数，则至少有18个数取自前16个抽屉，所以至少有4个数取自某两个抽屉中，而属于同一“抽屉”的两个数，其和是104【例 10】从1，2，3……，2010，2011这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？【解析】1，2，3，4，9，10，11，12，17，18，19，20，25……，在这些数种中任何两个数的差都不等于4，可以看出这些数是从每8个连续的数中选出前面的4个连续的数那么有2011÷8=251……3，所以最多可以选251×4+3=1007个数。